Question

已知雙曲線的中心在原點，離心率為2，一個焦點為F(－2，0)．

(1)求雙曲線方程；

(2)設Q是雙曲線上一點，且過點F，Q的直線l與y軸交于點M，若= 2，求直線l的方程．

 

Answer 1

(1)

(2)y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)

【解析】(1)由題意可設所求的雙曲線方程為，

則有e＝＝2，c＝2，所以a＝1，則b＝，

所以所求的雙曲線方程為 ．

(2)因為直線l與y軸相交于M且過焦點F(－2，0)，

所以l的斜率一定存在，設為k，則l：y＝k(x＋2)，

令x＝0，得M(0，2k)，

因為= 2|M，Q，F共線于l，

所以= 2或= －2

當=2時，， ，

所以Q的坐標(－，)

因為Q在雙曲線上，

所以，所以k＝±，

所以直線l的方程為y＝±(x＋2)．

當= －2時，

同理求得Q(－4，－2k)，代入雙曲線方程得，

16－＝1，所以k＝±，

所以直線l的方程為y＝±(x＋2)．

綜上，所求的直線l的方程為y＝± (x＋2)或y＝±(x＋2)．