Question

18．已知定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）單調(diào)遞增，若不等式f（-4t）＞f（2mt²+m）對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，-$\sqrt{2}$）
• B． （-$\sqrt{2}$，0）
• C． （-∞，0）∪（$\sqrt{2}$，+∞）
• D． （-∞，-$\sqrt{2}$）∪（$\sqrt{2}$，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)題意，由函數(shù)的奇偶性以及在[0，+∞）上的單調(diào)性分析可得f（x）在（-∞，+∞）上也是增函數(shù)，則不等式f（-4t）＞f（2mt²+m）對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立可以轉(zhuǎn)化為2mt²+4t+m＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)分析可得$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{16-4•2m•m＜0}\end{array}\right.$，解可得m的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，f（x）是奇函數(shù)且在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
則f（x）在（-∞，+∞）上也是增函數(shù)，
則不等式f（-4t）＞f（2mt²+m）對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立⇒-4t＞2mt²+m對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立，
即2mt²+4t+m＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)t恒成立，
分析可得$\left\{\begin{array}{l}{m＜0}\\{16-4•2m•m＜0}\end{array}\right.$，
解可得m＜-$\sqrt{2}$，
即m的取值范圍是（-∞，-$\sqrt{2}$），
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是將不等式轉(zhuǎn)化為t與m之間的關(guān)系．