Question

【題目】已知二次函數(shù)f（x）=x2+bx+c，且f（﹣3）=f（1），f（0）=0．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)g（x）=f（x）﹣（4+2a）x+2，x∈[1，2]，求函數(shù)g（x）的最值．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵二次函數(shù)f（x）=x2+bx+c，且f（﹣3）=f（1），f（0）=0．

∴c=0，且9﹣3b=1+b，

∴b=2，

∴函數(shù)f（x）=x2+2x

（2）解：g（x）=f（x）﹣（4+2a）x+2=x2﹣（2+2a）x+2的圖象開口朝上，且以直線x=a+1為對稱軸，

由x∈[1，2]，

①當a+1≤1時，即a≤0時，當x=1時，函數(shù)g（x）取最小值1﹣2a，當x=2時，函數(shù)g（x）取最大值2﹣4a；

②當1＜a+1＜ 時，即0＜a＜ 時，當x=1+a時，函數(shù)g（x）取最小值﹣a2﹣2a+1，當x=2時，函數(shù)g（x）取最大值2﹣4a

③當a+1= 時，即a= 時，當x= 時，函數(shù)g（x）取最小值﹣ ，當x=1，或x=2時，函數(shù)g（x）取最大值﹣2；

④當 ＜a+1＜2時，即 ＜a＜1時，當x=1+a時，函數(shù)g（x）取最小值﹣a2﹣2a+1，當x=1時，函數(shù)g（x）取最大值1﹣2a，

⑤當a+1≥2時，即a≥1時，當x=2時，函數(shù)g（x）取最小值2﹣4a，當x=1時，函數(shù)g（x）取最大值1﹣2a

【解析】（1）由已知中f（﹣3）=f（1），f（0）=0，求出b，c的值，可得函數(shù)f（x）的解析式；（2）函數(shù)g（x）=f（x）﹣（4+2a）x+2=x2﹣（2+2a）x+2的圖象開口朝上，且以直線x=a+1為對稱軸，由x∈[1，2]，對對稱軸的位置進行分類討論，可得函數(shù)的最值．
【考點精析】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握當時，拋物線開口向上，函數(shù)在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數(shù)在上遞增，在上遞減才能正確解答此題．