【題目】已知函數, , ,且的最小值為.
(1)求的值;
(2)若不等式對任意恒成立,其中是自然對數的底數,求的取值范圍;
(3)設曲線與曲線交于點,且兩曲線在點處的切線分別為, .試判斷, 與軸是否能圍成等腰三角形?若能,確定所圍成的等腰三角形的個數;若不能,請說明理由.
【答案】(1).(2). (3), 與軸能圍成2個等腰三角形.
【解析】試題分析:
(1)由原函數與導函數的關系可求得a=-2;
(2) 不等式即,構造函數令,分類討論可得的取值范圍是.
(3) 設, 的傾斜角分別為, ,若, 與軸所圍成的三角形是等腰三角形,則或. 分類討論: 和兩種情況可得, 與軸能圍成2個等腰三角形.
試題解析:
(1),所以,則的最小值為,
因此拋物線的對稱軸為,即,所以.
(2)由(1)知, .不等式即,
所以對任意恒成立.
令,則.
①若,則,所以函數在上單調減,
故,解得,
此時無符合題意的值; ②若,令,解得.
列表如下:
↘ | 極小值 | ↗ |
由題意,可知 解得.
故的取值范圍為.
(3)設, 的傾斜角分別為, ,則, .
因為,所以, ,則, 均為銳角.
若, 與軸所圍成的三角形是等腰三角形,則或.
①當時, ,即,解得,
而,即,
整理得, ,解得.
所以存在唯一的滿足題意.
②當時,由可得,
而,即,
整理得, .
令,則.
令,解得.列表如下:
↘ | 極小值 | ↗ |
而, , ,
所以在內有一個零點,也是上的唯一零點.
所以存在唯一的滿足題意.
綜上所述, , 與軸能圍成2個等腰三角形.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知拋物線x2=2py(p>0)與直線2x﹣y+1=0交于A,B兩點, ,點M在拋物線上,MA⊥MB.
(1)求p的值;
(2)求點M的橫坐標.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知二次函數f(x)=x2+bx+c,且f(﹣3)=f(1),f(0)=0.
(1)求函數f(x)的解析式;
(2)若函數g(x)=f(x)﹣(4+2a)x+2,x∈[1,2],求函數g(x)的最值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】《張邱建算經》是中國古代數學史上的杰作,該書中有首古民謠記載了一數列問題:“南山一棵竹, 竹尾風割斷, 剩下三十節(jié),一節(jié)一個圈. 頭節(jié)高五寸①,頭圈一尺三②.逐節(jié)多三分③,逐圈少分三④. 一蟻往上爬,遇圈則繞圈. 爬到竹子頂,行程是多遠?”(注釋:①第一節(jié)的高度為尺;②第一圈的周長為尺;③每節(jié)比其下面的一節(jié)多尺;④每圈周長比其下面的一圈少尺) 問:此民謠提出的問題的答案是
A. 尺 B. 尺
C. 尺 D. 尺
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【題目】已知橢圓E: ,不經過原點O的直線l:y=kx+m(k>0)與橢圓E相交于不同的兩點A、B,直線OA,AB,OB的斜率依次構成等比數列.
(Ⅰ)求a,b,k的關系式;
(Ⅱ)若離心率 且 ,當m為何值時,橢圓的焦距取得最小值?
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】設函數f(x)=x2﹣4x+3,若f(x)≥mx對任意的實數x≥2都成立,則實數m的取值范圍是( )
A.[﹣2 ﹣4,﹣2 ?+4]
B.(﹣∞,﹣2 ﹣4]∪[﹣2 ?+4,+∞)
C.[﹣2 ?+4,+∞)
D.(﹣∞,﹣ ]
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知函數f(x)=loga(x2﹣2ax)(a>0且a≠1)滿足對任意的x1 , x2∈[3,4],且x1≠x2時,都有 >0成立,則實數a的取值范圍是
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