Question

8．在△ABC中，∠B=$\frac{π}{6}$，AC=1，點D在邊AB上，且DA=DC，BD=1，則∠DCA=$\frac{π}{3}$或$\frac{π}{9}$．

Answer 1

分析 設∠A=∠ACD=θ，0$＜θ＜\frac{π}{2}$，則∠ADC=π-2θ，由正弦定理可得CD=$\frac{1}{2cosθ}$，在△BDC中由正弦定理，化簡可求sin（$\frac{π}{2}$-θ）=sin（$\frac{5π}{6}$-2θ），結合角的范圍，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求$\frac{π}{2}$-θ=$\frac{5π}{6}$-2θ，或$\frac{π}{2}$-θ+$\frac{5π}{6}$-2θ=π，進而得解θ的值．

解答 （本題滿分為10分）
解：設∠A=∠ACD=θ，0$＜θ＜\frac{π}{2}$，則∠ADC=π-2θ，
又AC=1，由正弦定理得：$\frac{AC}{sin2θ}=\frac{CD}{sinθ}$，可得：CD=$\frac{1}{2cosθ}$，
在△BDC中由正弦定理得：$\frac{CD}{sin∠B}=\frac{BD}{sin∠BCD}$，可得：$\frac{\frac{1}{2cosθ}}{sin\frac{π}{6}}=\frac{1}{sin（\frac{5π}{6}-2θ）}$，可得：cosθ=sin（$\frac{5π}{6}$-2θ），
可得：sin（$\frac{π}{2}$-θ）=sin（$\frac{5π}{6}$-2θ），
由0$＜θ＜\frac{π}{2}$，可得：0＜$\frac{π}{2}$-θ＜$\frac{π}{2}$，-$\frac{π}{6}$＜$\frac{5π}{6}$-2θ＜$\frac{5π}{6}$，
得$\frac{π}{2}$-θ=$\frac{5π}{6}$-2θ，或$\frac{π}{2}$-θ+$\frac{5π}{6}$-2θ=π，
解得：θ=$\frac{π}{3}$或$\frac{π}{9}$．
故答案為：$\frac{π}{3}$或$\frac{π}{9}$．
[注：該題若考生漏掉一解扣（2分）]

點評 本題主要考查了正弦定理，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應用，考查了轉化思想和數(shù)形結合思想的應用，屬于中檔題．