分析 (1)求得拋物線的焦點和準線方程,運用→AF=2→FB,且點B的橫坐標為1,可得A的橫坐標,再由拋物線的定義,可得弦長公式,解方程可得p,進而得到拋物線的方程;
(2)求得A,B的坐標和直線AB的方程,當與直線AB平行的直線與拋物線C相切于第一象限的點M時,△ABM的面積取得最大值.求得曲線對應函數(shù)的導數(shù),求得切線的斜率,可得切點M的坐標,運用點到直線的距離公式和兩點的距離公式,可得三角形的面積的最大值.
解答 解:(1)拋物線C:y2=2px的焦點F(p2,0),準線l:x=-p2,
設點A(x0,y0),→AF=2→FB,且點B的橫坐標為1,
則x0=1+3(p2−1)=3p2−2,
由拋物線的定義,得
|AB|=|AF|+|BF|=1+p2+x0+p2=1+p2+3p2−2+p2=5p2−1=9,
解得p=4,
所以拋物線C的方程為y2=8x.
(2)由(1)得,焦點F(2,0),x0=3p2−2=4.
將x=1代入拋物線C:y2=8x中,得y=±2√2,得點B(1,±2√2);
將x=4代入拋物線C:y2=8x中,得y=±4√2,得點A(4,±4√2).
①當取點B(1,−2√2)時,點A(4,4√2),
此時直線AB的方程為2√2x−y−4√2=0.
當與直線AB平行的直線與拋物線C相切于第一象限的點M時,
△ABM的面積取得最大值.
由y2=8x(y>0),得y=2√2•√x,取導數(shù){y^'}=2\sqrt{2}•\frac{1}{2}•\frac{1}{{\sqrt{x}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{{\sqrt{x}}},
令{y^'}=2\sqrt{2},得x=14.
將x=14代入拋物線C:y2=8x中,得y=√2(y>0).
所以當點M的坐標為(14,√2)時,△ABM的面積取得最大值,
此時點M(14,√2)到直線AB:2√2x−y−4√2=0的距離是
d=|2√2×14−√2−4√2|√(2√2)2+(−1)2=3√22,|AB|=√(4√2+2√2)2+(4−1)2=9,
所以△ABM的最大面積是S=12|AB|•d=12×9×3√22=27√24.
②當取點B(1,2√2)時,點A(4,−4√2),
同理,也驗證△ABM的最大面積是S=27√24;
綜上,△ABM的最大面積是27√24.
點評 本題考查拋物線的方程的求法,注意向量共線的坐標表示和拋物線的定義,以及弦長公式,考查三角形的面積的最值的求法,注意運用導數(shù),求得切點坐標,運用點到直線的距離公式和兩點的距離公式,考查化簡整理的運算能力,屬于中檔題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | f(x-1)一定是偶函數(shù) | B. | f(x-1)一定是奇函數(shù) | ||
C. | f(x+1)一定是偶函數(shù) | D. | f(x+1)一定是奇函數(shù) |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | b,c?∂.a⊥b,a⊥c | B. | b,c?∂.a∥b,a∥c | ||
C. | b,c?∂.b∩c=A,a⊥b,a⊥c | D. | b,c?∂.b∥c,a⊥b,a⊥c |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | 163+8π | B. | 323+8π | C. | 16+8π | D. | 163+16π |
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