Question

已知f（x）=3cos（2x-

π

3

）
（1）求y=f（x）的振幅和周期；
（2）求y=f（x）在[0，

π

2

]上的最大值及取最大值時x的值；
（3）若f（α）+f（

π

2

）=0，求α

Answer 1

考點：余弦函數(shù)的圖象

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)振幅和周期的定義即可求出求y=f（x）的振幅和周期；
（2）利用三角函數(shù)的最值性質(zhì)即可求y=f（x）在[0，

π

2

]上的最大值及取最大值時x的值；
（3）根據(jù)f（α）+f（

π

2

）=0，進(jìn)行化簡即可求α．

解答： 解：（1）函數(shù)的y=f（x）的振幅為3，周期T=

2π

2

=π；
（2）∵0≤x≤

π

2

，∴-

π

3

≤2x-

π

3

≤

2π

3

，
則cos

2π

3

≤cos（2x-

π

3

）≤cos0，
即-

1

2

≤cos（2x-

π

3

）≤1，
則-

3

2

≤3cos（2x-

π

3

）≤3，
即y=f（x）在[0，

π

2

]上的最大值為3，此時2x-

π

3

=0，即x=

π

6

；
（3）若f（α）+f（

π

2

）=0，
則3cos（2α-

π

3

）+3cos（2×

π

2

-

π

3

）=0，
即3cos（2α-

π

3

）+3cos

2π

3

=0，
即cos（2α-

π

3

）=

1

2

，
則2α-

π

3

=

π

3

+2kπ或2α-

π

3

=-

π

3

+2kπ，k∈Z，
即α=

π

3

+kπ或α=kπ，k∈Z．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，要求熟練掌握三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)．