Question

7．已知銳角三角形的三邊長分別為1，2，a，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （3，5）
• B． （$\sqrt{3}，\sqrt{5}$）
• C． （$\sqrt{3}，5$）
• D． （$\sqrt{5}，3$）

Answer 1

分析 由△ABC的三邊長，根據(jù)余弦定理的推論得到△ABC為銳角三角形時余弦值大于0，列出不等式組即可求出a的取值范圍．

解答 解：∵△ABC三邊長分別為1、2、a，
且△ABC為銳角三角形，
當(dāng)2為最大邊時2≥a，設(shè)2所對的角為α，
根據(jù)余弦定理得：cosα=$\frac{{a}^{2}+1{-2}^{2}}{2a}$＞0，
∵a＞0，
∴a²-3＞0，
解得2≥a＞$\sqrt{3}$；
當(dāng)a為最大邊時a＞2，設(shè)a所對的角為β，
根據(jù)余弦定理得：cosβ=$\frac{1{+2}^{2}{-a}^{2}}{2×2×1}$＞0，
∴5-a²＞0，
解得：2＜a＜$\sqrt{5}$，
綜上，實數(shù)a的取值范圍為（$\sqrt{3}$，$\sqrt{5}$）．
故選：B．

點評 本題考查了三角形的形狀判斷以及余弦定理的應(yīng)用問題，利用了分類討論的思想，解題關(guān)鍵是利用余弦定理推論得出最大邊所對角的余弦值大于0，進(jìn)而根據(jù)兩邊長1和2求出第三邊a的取值范圍．