Question

9．如圖，已知橢圓C：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{b^2}$=1（0＜b＜3）的左右焦點分別為E、F，過點F的直線交橢圓于A，B兩點，若$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，且$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$=16．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設直線x=my+1與橢圓交于不同的兩點P，Q，判斷在x軸上是否存在定點N，使x軸平分∠PNQ，若存在，求出點N的坐標，若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，則設|BF|=m，則|AF|=2m，由橢圓的定義可知：|BE|=6-m，|AE|=6-2m，由余弦定理可知cos∠AEB=$\frac{丨{AE丨}^{2}+丨BE{丨}^{2}-丨AB{丨}^{2}}{2丨AE丨•丨BE丨}$，$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$=丨$\overrightarrow{AE}$丨•丨$\overrightarrow{BE}$丨•$\frac{丨{AE丨}^{2}+丨BE{丨}^{2}-丨AB{丨}^{2}}{2丨AE丨•丨BE丨}$=16，即可求得m的值，丨EF丨=2$\sqrt{5}$，c=$\sqrt{5}$，b²=a²-c²=4，即可求得橢圓C的方程；
（2）由題意可知：設存在定點N（t，0），且設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），k_PN+k_QN=0，由斜率公式可知：$\frac{y_1}{{{x_1}-t}}+\frac{y_2}{{{x_2}-t}}=1$，整理2my₁y₂+（1-t）（y₁+y₂）=0，將直線l的方程代入橢圓方程，由韋達定理可知：${y_1}+{y_2}=\frac{-8m}{{4{m^2}+9}}，{y_1}{y_2}=\frac{-32}{{4{m^2}+9}}$，代入即可求得$2m•\frac{-32}{{4{m^2}+9}}+（1-t）\frac{-8m}{{4{m^2}+9}}=0⇒t=9$，故存在定點N（9，0）．

解答 解：（1）由題意可知：$\overrightarrow{AF}$=2$\overrightarrow{FB}$，則丨$\overrightarrow{AF}$丨=2丨$\overrightarrow{FB}$丨，設|BF|=m，則|AF|=2m，
橢圓C：$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{b^2}$=1（0＜b＜3），則焦點在x軸上，a=3，
由橢圓的定義可知：|AF|+|AE|=2a=6，|BF|+|BE|=2a=6，
∴|BE|=6-m，|AE|=6-2m，
在三角形AEB中，由余弦定理可知：cos∠AEB=$\frac{丨{AE丨}^{2}+丨BE{丨}^{2}-丨AB{丨}^{2}}{2丨AE丨•丨BE丨}$，
$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$=丨$\overrightarrow{AE}$丨•丨$\overrightarrow{BE}$丨•$\frac{丨{AE丨}^{2}+丨BE{丨}^{2}-丨AB{丨}^{2}}{2丨AE丨•丨BE丨}$，
由$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{BE}$=16，
解得：m=1，（3分）
∴三角形ABE是以角A為直角的直角三角形，
則丨EF丨=2$\sqrt{5}$，
∴c=$\sqrt{5}$，
故b²=a²-c²=4，（5分）
橢圓方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$； （6分）
（2）設存在定點N（t，0），且設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由x軸平分∠PNQ，得k_PN+k_QN=0，（8分）
即$\frac{y_1}{{{x_1}-t}}+\frac{y_2}{{{x_2}-t}}=1$，而x₁=my₁+1，x₂=my₂+1，
則y₁（my₂+1-t）+y₂（my₁+1-t）=0，
即：2my₁y₂+（1-t）（y₁+y₂）=0，①，（9分）
$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{4}=1}\end{array}\right.$，整理得：4（my+1）²+9y²-36=0，
即：（4m²+9）y²+8my-32=0，
由韋達定理可知：${y_1}+{y_2}=\frac{-8m}{{4{m^2}+9}}，{y_1}{y_2}=\frac{-32}{{4{m^2}+9}}$，（10分）
代入①式得：$2m•\frac{-32}{{4{m^2}+9}}+（1-t）\frac{-8m}{{4{m^2}+9}}=0⇒t=9$，
故存在定點N（9，0）（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查余弦定理，向量的數量積及直線的斜率公式的綜合運用，考查計算能力，屬于中檔題．