Question

已知橢圓C的離心率e=

2

2

，長軸的左右端點分別為A₁（-

2

，0），A₂（

2

，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)動直線l：y=kx+b與曲線C有且只有一個公共點P，且與直線x=2相交于點Q．問在x軸上是否存在定點N，使得以PQ為直徑的圓恒過定點N，若存在，求出N點坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率e=

2

2

，長軸的左右端點分別為A₁（-

2

，0），A₂（

2

，0），求出幾何量，即可求橢圓C的方程；
（Ⅱ）直線l：y=kx+b與曲線C聯(lián)立，消去y，利用曲線C與直線l只有一個公共點，得△=0，可得b²=2k²+1，求出P，Q的坐標(biāo)，利用以PQ為直徑的圓恒過定點，建立等式，即可求出N點坐標(biāo)．

解答： 解：（Ⅰ）由已知a=

2

，e=

c

a

=

2

2

----（2分）
∴c=1，b=

a2-c2

=1，
∴橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1；----（4分）
（Ⅱ）

y=kx+b x2 2 +y2=1

消去y得（2k²+1）x²+4kbx+2b²-2=0，
∵曲線C與直線l只有一個公共點，∴△=0，
可得b²=2k²+1（*）----（6分）
設(shè)P（x_P，y_P），
∴xP=

-4kb

2(2k2+1)

=-

2k

b

，yP=kxP+b=

1

b

，∴P(-

2k

b

，

1

b

)．---（8分）
又由

y=kx+b x=2

，
∴Q（2，2k+b）----（9分）
設(shè)在x軸上存在定點N（x₁，0），使得以PQ為直徑的圓恒過定點N．
∴NP⊥NQ，即

NP

•

NQ

=0----（10分）
∴(-

2k

b

-x1，

1

b

)(2-x1，2k-b)=0，
∴

2k

b

(x1-1)+

x

2 1

-2x1+1=0對滿足b²=2k²+1恒成立，
∴

x1-1=0 x2-2x1+1=0

，∴x₁=1
故在x軸上存在定點N（1，0），使得以PQ為直徑的圓恒過定點N．--（14分）

點評：本題主要考查橢圓方程、圓的性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查運算能力，考查化歸思想，屬于中檔題．