Question

（本小題滿分9分）如圖所示，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)，PA＝AD＝a．

（1）求證：MN∥平面PAD；

（2）求證：平面PMC⊥平面PCD．

Answer 1

（1）證明見解析；（2）證明見解析；

【解析】

試題分析：（1）由題可知，證明線面平行主要有3種方法，分別是平行四邊形法，三角形中位線法，構(gòu)造輔助平面法，在本題中，取PD的中點(diǎn)E，連接EN,EA，則四邊形ENMA構(gòu)成了平行四邊形，由線線平行即可得出線面平行；（2）由題可知，證明面面垂直常用的方法是通過(guò)線面垂直得到，在本題中，由MN⊥平面PCD，MN平面PMC，所以得出平面PMC⊥平面PCD；

試題解析：（1）設(shè)PD的中點(diǎn)為E，連結(jié)AE、NE，由N為PD的中點(diǎn)知ENDC，

又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB,又M是AB的中點(diǎn)，∴ENAN，

∴AMNE是平行四邊形

∴MN∥AE，而AE平面PAD，NM平面PAD ∴MN∥平面PAD （4分）

（2）∵PA＝AD，∴AE⊥PD，又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD

∴CD⊥AE， ∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，

∵M(jìn)N∥AE，∴MN⊥平面PCD，

又MN平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD. （9分）

考點(diǎn)：?線面平行的判定定理?面面垂直的判定定理