Question

2．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{a}{x}$-1，a∈R
（I）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x-y+1=0垂直，求函數(shù)的極值；
（II）當(dāng)a＞0時(shí)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間[1，3]上的最小值為$\frac{1}{3}$，求a的值；
（III）討論函數(shù)g（x）=f′（x）-$\frac{x}{3}$零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．

Answer 1

分析 （I）$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}（x＞0）$，利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得：f'（1）=-1，解得a=2．可得f′（x）=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值即可得出．
（II）對(duì)a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值即可得出．
（III）函數(shù)$g（x）=f'（x）-\frac{x}{3}=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}-\frac{x}{3}（x＞0）$．令g（x）=0，得$a=-\frac{1}{3}{x^3}+x（x＞0）$，設(shè)$φ（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+x（x＞0）$．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性極值可得：φ（x）的最大值為$φ（1）=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$．又φ（0）=0，結(jié)合y=φ（x）的圖象（如圖），對(duì)a分類討論即可得出．

解答 解：（I）$f'（x）=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}=\frac{x-a}{x^2}（x＞0）$，
因?yàn)榍�線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線與直線x-y+1=0垂直，所以f'（1）=-1，
即1-a=-1，解得a=2．∴f′（x）=$\frac{x-2}{{x}^{2}}$，
∴當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，f'（x）＜0，f（x）在（0，2）上單調(diào)遞減；
當(dāng)x∈（2，+∞）時(shí)，f'（x）＞0，f（x）在（2，+∞）上單調(diào)遞增；
∴當(dāng)x=2時(shí)，f（x）取得極小值$f（2）=ln2+\frac{2}{2}-1=ln2$．
∴f（x）極小值為ln2．
（II）當(dāng)0＜a≤1時(shí)，f′（x）＞0在（1，3）上恒成立，這時(shí)f（x）在[1，3]上為增函數(shù)．
∴f（x）_min=f（1）=a-1，
令 a-1=$\frac{1}{3}$，得a=$\frac{4}{3}$＞1（舍去），
當(dāng)1＜a＜3時(shí)，由f′（x）=0得，x=a∈（1，3），∴φ'（x）=-x²+1=-（x-1）（x+1）
若x∈（1，a），有f′（x）＜0，f（x）在[1，a）上為減函數(shù)，
x∈（a，3]，有f′（x）＞0，f（x）在[a，3]上為增函數(shù)．
∴f（x）_min=f（a）=lna，令lna=$\frac{1}{3}$，得a=${e}^{\frac{1}{3}}$．
當(dāng)a≥3時(shí)，f′（x）＜0在（1，3）上恒成立，這時(shí)f（x）在[1，3]上為減函數(shù)，
∴f（x）_min=f（3）=ln3+$\frac{a}{3}$-1．令ln3+$\frac{a}{3}$-1=$\frac{1}{3}$，得a=4-3ln3＜2（舍去）．
綜上知，$a={e^{\frac{1}{3}}}$．…（9分）
（III）∵函數(shù)$g（x）=f'（x）-\frac{x}{3}=\frac{1}{x}-\frac{a}{x^2}-\frac{x}{3}（x＞0）$
令g（x）=0，得$a=-\frac{1}{3}{x^3}+x（x＞0）$，設(shè)$φ（x）=-\frac{1}{3}{x^3}+x（x＞0）$
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，φ'（x）＞0，此時(shí)φ（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，φ'（x）＜0，此時(shí)φ（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞減；
所以x=1是φ（x）的唯一極值點(diǎn)，且是極大值點(diǎn)，因此x=1也是φ（x）的最大值點(diǎn)，∴φ（x）的最大值為$φ（1）=-\frac{1}{3}+1=\frac{2}{3}$．…（11分）
又φ（0）=0，結(jié)合y=φ（x）的圖象（如圖），可知
①當(dāng)$a＞\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)；
②當(dāng)a=$\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)g（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)$0＜a＜\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)；
④a≤0時(shí)，函數(shù)g（x）有且只有一個(gè)零點(diǎn)； 
綜上所述，當(dāng)a$＞\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)g（x）無(wú)零點(diǎn)；當(dāng)a=$\frac{2}{3}$或a≤0時(shí)，函數(shù)g（x）有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)$0＜a＜\frac{2}{3}$時(shí)，函數(shù)g（x）有兩個(gè)零點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值最值及其方程、分類討論方法、數(shù)形結(jié)合方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．