Question

設(shè)橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），離心率為

2

2

，過(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，AB=2．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動(dòng)點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足

OP

=

OM

+2

ON

，其中M，N是橢圓C上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，求證：x₀²+2y₀²為定值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出a²=2b²，AB=2，

c2

a2

+

1

b2

=1，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由直線OM與ON的斜率之積為-

1

2

，推導(dǎo)出x₁x₂+2y₁y₂=0，利用點(diǎn)差法能證明x₀²+2y₀²為定值．

解答： （1）解：∵橢圓方程

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），離心率為

2

2

，
∴e2=

a2-b2

a2

=

1

2

，即a²=2b²，（2分）
∵過(guò)焦點(diǎn)且垂直于x軸的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，∴AB=2．
∴由橢圓的對(duì)稱性知，橢圓過(guò)點(diǎn)（c，1），即

c2

a2

+

1

b2

=1，（4分）
∴

a2-b2

a2

+

1

b2

=1，解得a²=4，b²=2，
∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

2

=1．（7分）
（2）證明：設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則kOMkON=

y1

x1

y2

x2

=-

1

2

，化簡(jiǎn)得x₁x₂+2y₁y₂=0，（9分）
∵M(jìn)，N是橢圓C上的點(diǎn)，
∴

x12

4

+

y12

2

=1，

x22

4

+

y22

2

=1，
∵

OP

=

OM

+2

ON

，∴

x0=x1+2x2 y0=y1+2y2

，（11分）
∴

x

2 0

+2

y

2 0

=(x1+2x2)2+(y1+2y2)2
=(

x

2 1

+2

y

2 1

)+4(

x

2 2

+2

y

2 2

)+4(x1x2+2y1y2)
=4+4×4+0=20（定值）．（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓方程的求法，考查兩數(shù)和為定值的證明，是中檔題，解題要熟練掌握橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．