Question

16．在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，且bsinA=$\sqrt{3}$acosB
（1）求角B的大小
（2）若b=3，sinC=2sinA，求a、c的值及△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化簡(jiǎn)已知等式可得$sinBsinA=\sqrt{3}sinAcosB$，由于sinA≠0，可求tanB的值，結(jié)合范圍B∈（0，π），利用特殊角的三角函數(shù)值即可求得B的值．
（2）由已知及正弦定理可得c=2a，利用余弦定理可求9=a²+c²-ac，聯(lián)立即可解得a，c的值，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）由$bsinA=\sqrt{3}acosB$及正弦定理得：$sinBsinA=\sqrt{3}sinAcosB$．
∵sinA≠0，
∴$sinB=\sqrt{3}cosB⇒tanB=\sqrt{3}$，
而B∈（0，π），
故$B=\frac{π}{3}$．…（6分）
（2）由sinC=2sinA及$\frac{a}{sinA}=\frac{sinB}$，得c=2a，①．
又b=3，由余弦定理b²=a²+c²-2accosB，得9=a²+c²-ac，②
由①②得$a=\sqrt{3}，c=2\sqrt{3}$，
∴△ABC的面積$S=\frac{1}{2}acsinB=\frac{3}{2}\sqrt{3}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理，特殊角的三角函數(shù)值，余弦定理，三角形面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．