Question

已知兩個(gè)同心圓，其半徑分別為a，b（a＞b），AB為小圓上的一條定直徑，則以大圓的切線l為準(zhǔn)線，且過A、B兩點(diǎn)的拋物線焦點(diǎn)F的軌跡方程為（　�。�（以線段AB所在直線為x軸，其中垂線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系）

• A、

  x2

  a2

  +

  y2

  a2-b2

  =1(x≠±a)
• B、

  x2

  a2

  -

  y2

  a2-b2

  =1(x≠±a)
• C、

  y2

  a2

  +

  x2

  a2-b2

  =1(x≠±a)
• D、

  y2

  a2

  -

  x2

  a2-b2

  =1(x≠±a)

Answer 1

分析：根據(jù)題意作出圖形，由拋物線的定義、梯形中位線定理與圓的切線的性質(zhì)，推出點(diǎn)F到A、B兩點(diǎn)的距離之和等于2a，所以點(diǎn)F的軌跡是以以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，進(jìn)而算出F點(diǎn)的軌跡方程．

解答：解：設(shè)A、B、O在準(zhǔn)線l上的射影分別為C、D、G，連線AC、BD、AF、BF、OG，則點(diǎn)F在OG上．
根據(jù)拋物線的定義，可得|AF|=|AC|且|BF|=|BD|，
∴|AF|+|BF|=|AC|+|BD|，
∵直線l切大圓于G點(diǎn)，∴OG⊥l，OG=a．
梯形ABDC中利用中位線定理，可得|AC|+|BD|=2|OG|=2a，
又∵A（-b，0），B（b，0）是x軸上兩個(gè)定點(diǎn)，
∴點(diǎn)F到A、B兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和等于2a＞2b，
根據(jù)橢圓的定義可得點(diǎn)A的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，
該橢圓的短半軸為b'，則b'=

a2-b2

，
該橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

a2-b2

=1，由于點(diǎn)G在x軸上時(shí)F、G重合，不能作出拋物線，所以x≠±a．
因此可得動(dòng)點(diǎn)F的軌跡方程為

x2

a2

+

y2

a2-b2

=1(x≠±a)．
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出動(dòng)點(diǎn)F滿足的條件，求F的軌跡方程．著重考查了直線與圓相切的性質(zhì)、梯形的中位線定理、橢圓與拋物線的定義等知識(shí)，考查了動(dòng)點(diǎn)軌跡方程求法，屬于中檔題．