Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）滿足如下條件：（1）ab=

3

；（2）過右焦點F的直線l的斜率為

21

2

，交y軸于點P，線段PF交雙曲線于點Q，且|PQ|：|QF|=2：1，求雙曲線的方程．

Answer 1

分析：首先設直線l：y=

21

2

（x-c），并求出P點坐標；然后根據|PQ|：|QF|=2：1，求出Q點坐標，并代入雙曲線方程，再由a²+b²=c²，求出a²、b²即可．

解答：解：設直線l：y=

21

2

（x-c），令x=0，得P（0，-

21

2

c），
設λ=

|PQ|

|QF|

=2，Q（x，y），則有

x= 2c 1+2 = 2 3 c y= - 21 2 c 1+2 =- 21 6 c

，
又Q（

2

3

c，-

21

6

c）在雙曲線上，
∴b²（

2

3

c）²-a²（-

21

6

c）²=a²b²，
∵a²+b²=c²，∴

4

9

(1+

b2

a2

)-

7

12

(

a2

b2

+1)=1，
解得

b2

a2

=3，又由ab=

3

，可得

a2=1 b2=3

，
∴所求雙曲線方程為x2-

y2

3

=1．

點評：本題考查了雙曲線的標準方程和簡單性質，根據|PQ|：|QF|=2：1，求出Q點坐標是解題的關鍵，同時要注意運算技巧，屬于中檔題．