Question

2．已知F₁、F₂分別是橢圓$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上，下焦點，A，B分別為橢圓的左、右頂點，過橢圓的上焦點F₁的直線在x軸上方部分交橢圓于C、D兩點，△F₂CD的周長為8，若橢圓的離心率為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
（1）求橢圓的方程；
（2）設四邊形ABCD的而積為S，求S的最大值．

Answer 1

分析 （1）根據橢圓的定義，則4a=8，a=2，根據離心率公式，即可求得c，則b²=a²-c²=1，即可求得橢圓方程；
（2）設直線CD的方程，代入橢圓方程，利用韋達定理，及函數的單調性即可求得S的最大值．

解答 解：（1）由橢圓的定義丨CF₁丨+丨CF₂丨=2a，丨DF₁丨+丨DF₂丨=2a，△F₂CD的周長為為4a，
∴4a=8，則a=2，
由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，c=$\sqrt{3}$，b²=a²-c²=1，
∴橢圓的標準方程：$\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1$；
（2）由（1）知：F₁（0，$\sqrt{3}$），故設直線y=kx+$\sqrt{3}$，C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+\sqrt{3}}\\{\frac{{y}^{2}}{4}+{x}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（k²+4）x²+2$\sqrt{3}$kx-1=0，
則x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{3}k}{{k}^{2}+4}$，x₁x₂=-$\frac{1}{{k}^{2}+4}$，
丨x₁-x₁丨=$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{4\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}+4}$，由y₁＞0，y₂＞0，得0≤k²＜3，
則y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2$\sqrt{3}$=$\frac{8\sqrt{3}}{{k}^{2}+4}$，
∴四邊形ABCD的面積S，S=S_AOC+S_BOD+S_OCD=$\frac{1}{2}$×$\frac{8\sqrt{3}}{{k}^{2}+4}$+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$×$\frac{4\sqrt{{k}^{2}+1}}{{k}^{2}+4}$=$\frac{2\sqrt{3}（\sqrt{{k}^{2}+1}+2）}{{k}^{2}+4}$，
令t=$\sqrt{{k}^{2}+1}$+2，t∈[3，4），
則S=$\frac{2\sqrt{3}t}{（t-2）^{2}+3}$=$\frac{2\sqrt{3}}{t+\frac{7}{t}-4}$在t∈[3，4）上單調遞減，
∴S∈（$\frac{8\sqrt{3}}{7}$，$\frac{3\sqrt{3}}{2}$]，
∴S的最大值$\frac{3\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，弦長公式，函數單調性與橢圓的應用，考查計算能力，屬于中檔題．