Question

14．已知f（x）是定義在[-1，1]上的奇函數(shù)，且f（1）=1，若a，b∈[-1，1]，a+b≠0時，有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0成立．
（1）判斷f（x）在[-1，1]上的單調(diào)性，并用定義證明；
（2）解不等式：f（2x-1）＞f（x²-1）；
（3）若f（x）≤m²-3am+1對所有的a∈[-1，1]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）設(shè)-1≤x₁＜x₂≤1，令a=x₁，b=-x₂，利用奇函數(shù)的性質(zhì)即可化簡得出f（x₁）＜f（x₂），得出結(jié)論；
（2）利用f（x）的單調(diào)性和定義域列不等式組解出；
（3）由題意可得m²-3am≥0恒成立，令g（a）=-3am+m²，討論g（a）的單調(diào)性，令g_min（a）≥0即可得出m的范圍．

解答 解：（1）f（x）在[-1，1]上為增函數(shù)，
證明：設(shè)x₁，x₂是[-1，1]上的任意兩個數(shù)，且x₁＜x₂，
令a=x₁，b=-x₂，則$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
∵x₁-x₂＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
∴f（x）在[-1，1]上是增函數(shù)．
（2）由題意得：$\left\{\begin{array}{l}{2x-1＞{x}^{2}-1}\\{-1≤2x-1≤1}\\{-1≤{x}^{2}-1≤1}\end{array}\right.$，解得0＜x≤1，
（3）∵f（x）是增函數(shù)，且f（1）=1，
∴1≤m²-3am+1恒成立，即m²-3am≥0恒成立，
令g（a）=-3am+m²，則g_min（a）≥0，
①若m=0，則g（a）=0，顯然符合題意；
②若m＞0，則g_min（a）=g（1）=-3m+m²≥0，解得m≥3，
③若m＜0，則g_min（a）=g（-1）=3m+m²≥0，解得m≤-3，
綜上，m的取值范圍是（-∞，-3]∪[3，+∞）∪{0}．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性判斷與應(yīng)用，函數(shù)恒成立問題與函數(shù)最值的計算，屬于中檔題．