Question

14．在邊長為10的等邊三角形ABC中，兩個(gè)內(nèi)接正方形有一邊重疊，都有邊落在BC上，正方形甲有一個(gè)頂點(diǎn)在AB上，正方形乙有一頂點(diǎn)在AC上，求這兩個(gè)內(nèi)接正方形面積和的最小值．

Answer 1

分析 設(shè)正方形甲、乙的邊長分別為x、y．可得x+y+$\frac{x}{\sqrt{3}}$+$\frac{y}{\sqrt{3}}$=10，利用x²+y²≥$\frac{1}{2}（x+y）^{2}$即可得出．

解答 解：設(shè)正方形甲、乙的邊長分別為x、y．
則x+y+$\frac{x}{\sqrt{3}}$+$\frac{y}{\sqrt{3}}$=10，可得x+y=5（3-$\sqrt{3}$）．
∴x²+y²≥$\frac{1}{2}（x+y）^{2}$=75（2-$\sqrt{3}$），當(dāng)且僅當(dāng)x=y=$\frac{5（3-\sqrt{3}）}{2}$時(shí)取等號(hào)．
因此這兩個(gè)內(nèi)接正方形面積和的最小值是75（2-$\sqrt{3}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了基本不等式的性質(zhì)、等邊三角形與正方形的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．