Question

3．若曲線$y=\sqrt{1-{x^2}}$和直線y=k（x-1）+1有兩個(gè)公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是$（{0，\frac{1}{2}}]$．

Answer 1

分析 ，直線y=k（x-1）+1的圖象為過(guò)定點(diǎn)（1，1），求出兩個(gè)特殊位置直線的斜率，可得結(jié)論．

解答 解：曲線$y=\sqrt{1-{x^2}}$的圖象為單位圓的上半圓，
直線y=k（x-1）+1的圖象為過(guò)定點(diǎn)（1，1），
將點(diǎn)（-1，0）代入直線y=k（x-1）+1
得$k=\frac{1}{2}$，當(dāng)直線y=k（x-1）+1的斜率k=0與單位圓的上半圓恰有1個(gè)交點(diǎn)，
故曲線$y=\sqrt{1-{x^2}}$和直線y=k（x-1）+1有兩個(gè)公共點(diǎn)，
則實(shí)數(shù)k的取值范圍是$（{0，\frac{1}{2}}]$，
故答案為$（{0，\frac{1}{2}}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．