Question

20．設(shè)雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，過(guò)點(diǎn)F₂作直線A，B交雙曲線右支于A，B兩點(diǎn)，若|AF₁|+|BF₁|的最小值為11a，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{2}}{2}$

Answer 1

分析 由題意可得，當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，|AF₁|+|BF₁|的最小，根據(jù)F₂的坐標(biāo)，求出|AB|=$\frac{2^{2}}{a}$，再根據(jù)雙曲線的定義可得$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{7}{2}$，再根據(jù)離心率公式計(jì)算即可．

解答 解：由題意可得，當(dāng)直線AB與x軸垂直時(shí)，|AF₁|+|BF₁|的最小，
又F₂=（c，0），
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，
解得y=±$\frac{^{2}}{a}$，
∴|AB|=$\frac{2^{2}}{a}$，
∵|AF₁|+|BF₁|-|AB|=4a，
∴11a-$\frac{2^{2}}{a}$=4a，
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{7}{2}$，
∴e=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\sqrt{1+\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1+\frac{7}{2}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的性質(zhì)和定義，考查了學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題