Question

（12分）設(shè)函數(shù)在及時取得極值．

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）若對于任意的，都有成立，求c的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ），．（Ⅱ）。

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。：函數(shù)在某點存在極值的性質(zhì)，函數(shù)恒成立問題題，而函數(shù)①f（x）＜c²在區(qū)間[a，b]上恒成立與②存在x∈[a，b]，使得f（x）＜c²是不同的問題．①⇔f（x）_max＜c²，②⇔f（x）_min＜c²，在解題時要準(zhǔn)確判斷是“恒成立”問題還是“存在”問題．在解題時還要體會“轉(zhuǎn)化思想”及“方程與函數(shù)不等式”的思想的應(yīng)用．

（1）依題意有，f'（1）=0，f'（2）=0．求解即可．

（2）若對任意的x∈[0，3]，都有f（x）＜c²成立⇔f（x）_max＜c²在區(qū)間[0，3]上成立，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在[0，3]上的最大值，進一步求c的取值范圍．

解：（Ⅰ），由，．解得，．

（Ⅱ）在[0，3]上恒成立即，

由（Ⅰ）可知，，．

當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．

即在0，1]上遞增，[1，2]上遞減，[2，3]上遞增；∴當(dāng)時，取得極大值，又．故當(dāng)時，的最大值為．

于是有：，解得　或，因此的取值范圍為。