【題目】已知橢圓的焦距為,且過點.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)若直線與拋物線相交于兩點,與橢圓相交于兩點,(為坐標(biāo)原點),為拋物線的焦點,求面積的最大值.
【答案】(1);(2)
【解析】
(1)利用焦距、橢圓上的點和橢圓的關(guān)系可構(gòu)造方程組求得,進(jìn)而得到橢圓方程;
(2)設(shè),與拋物線方程聯(lián)立得到,利用構(gòu)造方程求得,可知恒過定點,則;將直線方程與橢圓方程聯(lián)立,利用韋達(dá)定理整理得到,利用換元法,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可求得所求最值.
(1)橢圓過點,…①,
又橢圓焦距為,則,…②,
由①②可解得:,,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
(2)由題意可設(shè)直線的方程為,設(shè),,
由消去得:,則.
,,
直線的方程為,恒過定點,
由,消去得:.
設(shè),,則,.
,
令,則,
令,則,令,則,
在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時,的面積取得最大值,最大值為,此時,直線的方程為.
面積的最大值為.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).以坐標(biāo)原點為極點,軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(1)求直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程;
(2)若射線()與直線和曲線分別交于,兩點,求的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值;
(2)當(dāng)時,若不等式恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(3)若存在,且當(dāng)時,,證明:.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點到直線的距離為,過點的直線與交于、兩點.
(1)求拋物線的準(zhǔn)線方程;
(2)設(shè)直線的斜率為,直線的斜率為,若,且與的交點在拋物線上,求直線的斜率和點的坐標(biāo).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是各項均為正數(shù)的無窮數(shù)列,數(shù)列滿足(n),其中常數(shù)k為正整數(shù).
(1)設(shè)數(shù)列前n項的積,當(dāng)k=2時,求數(shù)列的通項公式;
(2)若是首項為1,公差d為整數(shù)的等差數(shù)列,且=4,求數(shù)列的前2020項的和;
(3)若是等比數(shù)列,且對任意的n,,其中k≥2,試問:是等比數(shù)列嗎?請證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出以下四個命題:
①設(shè)是空間中的三條直線,若,,則.
②在面積為的的邊上任取一點,則的面積大于的概率為.
③已知一個回歸直線方程為,則.
④數(shù)列為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為的一次函數(shù).
其中正確命題的充號為________.(把所有正確命題的序號都填上)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】△ABC中,三個內(nèi)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c.且
.
(1)若,求角C的大小.
(2)若AC邊上的中線BM的長為2,求△ABC面積的最大值.
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