Question

（本題14分）已知函數(shù)在處取得極值，且在處的切線的斜率為1。
（Ⅰ）求的值及的單調(diào)減區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)＞0，＞0，，求證：。

Answer 1

試題分析：解：（Ⅰ） 
，∴ ，即，∴
∴  ，又，∴ ，∴
綜上可知   
，定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824003958686266.png" style="vertical-align:middle;" />＞0， 
由＜0 得 0＜＜，∴的單調(diào)減區(qū)間為……………6分
（Ⅱ）先證
即證
即證：
令 ，∵＞0，＞0 ，∴ ＞0，即證
令 則
∴
 
① 當(dāng)＞，即0＜＜1時(shí)，＞0，即＞0
在（0，1）上遞增，∴＜＝0，
② 當(dāng)＜，即＞1時(shí)，＜0，即＜0
在（1，＋∞）上遞減，∴＜＝0，
③ 當(dāng)＝，即＝1時(shí)，＝＝0
綜合①②③知即
即
又
∴  
綜上可得    ……………14分
點(diǎn)評(píng)：對(duì)于導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用，關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定單調(diào)性，進(jìn)而得到極值，和最值， 證明不等式。屬于中檔題。