已知函數(shù)f(x)=(x2+mx+n)ex,m、n∈R:
(1)若f(x)在x=0處取到極值,試討論f(x)的單調(diào)性;
(2)若f(x)無極值,且
lim
n→0
f(x)-n
x
=4,m的范圍是A,n的范圍是B,求A∪B.
分析:(1)對函數(shù)求導,由題意可得,f′(0)=0,代入可求m+n=0,,代入m+n=0,的值,分別解f′(x)>0,f′(x)<0,求解即可.(2)根據(jù)f(x)無極值,得到△=(m+2)2-4(m+n)≤0,即m2-4n+4≤0,把
lim
n→0
f(x)-n
x
=4,化簡得
lim
x→0
f(x)-f(0)
x-0
=4
,利用導數(shù)的定義可得m+n=4并代入△,即可求得集合A,集合B,從而求得A∪B.
解答:解:(Ⅰ)f'(x)=(2x+m)•ex+(x2+mx+n)•ex=[x2+(m+2)x+m+n]ex,
由題意得f'(0)=0,得m+n=0,即f'(x)=[x2+(m+2)x]ex
當m<-2時,x∈(-∞,0),(-m-2,+∞)時,f'(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;
當x∈(0,-m-2)時,f'(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;
當m>-2時,函數(shù)f(x)在(-∞,-m-2),(0,+∞)單調(diào)遞增;在(-m-2,0)上單調(diào)遞減,
當m=-2時,不合題意.
(2)由題意△=(m+2)2-4(m+n)≤0,即m2-4n+4≤0,
lim
n→0
f(x)-n
x
=4,即
lim
x→0
f(x)-f(0)
x-0
=4
,
f′(0)=4,
∴m+n=4,即n=4-m,
m2≤4(4-m-1),即m2+4m-12≤0,
∴m∈[-6,2],n∈[2,10]
∴A∪B=[-6,10].
點評:此題是中檔題.考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和單調(diào)性,以及導數(shù)的定義和集合的并集運算,綜合性強,考查學生靈活應用知識分析解決問題的能力.
練習冊系列答案
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已知函數(shù)f(x)=sinxcosφ+cosxsinφ(其中x∈R,0<φ<π).
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若函數(shù)y=f(2x+
π
4
)
的圖象關于直線x=
π
6
對稱,求φ的值.

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已知函數(shù)f(x)為定義在R上的奇函數(shù),且當x>0時,f(x)=(sinx+cosx)2+2cos2x,
(1)求x<0,時f(x)的表達式;
(2)若關于x的方程f(x)-a=o有解,求實數(shù)a的范圍.

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已知函數(shù)f(x)=aInx-ax,(a∈R)
(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;(文科可參考公式:(Inx)=
1
x

(2)若f′(2)=1,記函數(shù)g(x)=x3+x2[f(x)+
m
2
]
,若g(x)在區(qū)間(1,3)上總不單調(diào),求實數(shù)m的范圍.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-bx的圖象在點A(1,f(1))處的切線l與直線3x-y+2=0平行,若數(shù)列{
1
f(n)
}
的前n項和為Sn,則S2010的值為( 。
A、
2011
2012
B、
2010
2011
C、
2009
2010
D、
2008
2009

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)是定義在區(qū)間(-1,1)上的奇函數(shù),且對于x∈(-1,1)恒有f’(x)<0成立,若f(-2a2+2)+f(a2+2a+1)<0,則實數(shù)a的取值范圍是
 

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