Question

20．已知向量$\overrightarrow a$=（$\sqrt{3}$sinωx，cosωx），$\overrightarrow b$=（cosωx，-cosωx），（ω＞0），函數(shù)f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+$\frac{1}{2}$，直線x=x₁，x=x₂是y=f（x）圖象的任意兩條對稱軸，且|x₁-x₂|的最小值為$\frac{π}{4}$．
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)增區(qū)間；
（2）若cosx≥$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，x∈（0，π），且f（x）-m=0有兩個實根x₁，x₂，
①求實數(shù)m的取值范圍；
②求sin（x₁+x₂）的值．

Answer 1

分析 （1）由向量數(shù)量積的坐標運算得到f（x），化簡得到f（x）=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$），由題意求得$T=\frac{π}{2}$，則ω可求，代入函數(shù)解析式，由復合函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（2）由cosx≥$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，x∈（0，π），求得x∈（0，$\frac{π}{4}$]，畫出圖形．
①數(shù)形結(jié)合求得m的范圍；②求出y軸右側(cè)第一個頂點的橫坐標，得到x₁+x₂的值，則sin（x₁+x₂）的值可求．

解答 解：（1）∵$\overrightarrow a$=（$\sqrt{3}$sinωx，cosωx），$\overrightarrow b$=（cosωx，-cosωx），
∴f（x）=$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$+$\frac{1}{2}$=$\sqrt{3}$sinωxcosωx-cos²ωx$+\frac{1}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2ωx-$\frac{1}{2}$（1+cos2ωx）$+\frac{1}{2}$
=sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）．
由題意得$\frac{T}{2}=\frac{π}{4}$，得$T=\frac{π}{2}$，
又∵ω＞0，∴2ω=$\frac{2π}{\frac{π}{2}}=4$，則ω=2．
∴f（x）=sin（4x-$\frac{π}{6}$）．
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤4x-$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，解得$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$≤x≤$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$，
∴f（x）單調(diào)遞增區(qū)間為[$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{6}$]，k∈Z；
（2）由cosx≥$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，x∈（0，π），得x∈（0，$\frac{π}{4}$]，
由f（x）-m=0有兩個實根x₁，x₂，如圖，
①由圖可知，實數(shù)m的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，1）；
②由4x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}+kπ$，得$x=\frac{π}{6}+\frac{kπ}{4}，k∈Z$．
∴${x}_{1}+{x}_{2}=\frac{π}{3}$，則sin（x₁+x₂）=$sin\frac{π}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點評 本題三角函數(shù)中的恒等變換應用，主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進行化簡是解決本題的關(guān)鍵，是中檔題．