Question

10．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的圖象過點(diǎn)P（1，2）且在x=$\frac{1}{3}$處取得極值點(diǎn)．
（1）求a、b的值
（2）求 函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（3）求 函數(shù) f（x）在[-1，1]上的最值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到關(guān)于a，b的方程組，解出并檢驗(yàn)即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（3）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的在閉區(qū)間上的最值即可．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的圖象過點(diǎn)P（1，2）
∴f（1）=2，∴a+b=1，
又函數(shù)f（x）在x=$\frac{1}{3}$處取得極值點(diǎn)，
∴f'（$\frac{1}{3}$）=0       因  f'（x）=3x²+2 ax+b∴2a+3b=-1    …（4分）
解得 a=4，b=-3，
經(jīng)檢驗(yàn) x=$\frac{1}{3}$是f（x）極值點(diǎn)    …（6分）
（2）由（1）得f'（x）=3x²+8x-3，
令f'（x）＞0，得  x＜-3或 x＞$\frac{1}{3}$，
令f'（x）＜0，得-3＜x＜$\frac{1}{3}$，
函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為（-∞，-3），（$\frac{1}{3}$，+∞），
函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間為（-3，$\frac{1}{3}$）                    …（8分）
（3）由（2）知，又函數(shù)f（x）在x=$\frac{1}{3}$處取得極小值點(diǎn)f（$\frac{1}{3}$）=$-\frac{4}{27}$f（-1）=6，f（1）=2           …（10分）
函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最大值為6，最小值為$-\frac{4}{27}$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．