Question

【題目】已知平面直角坐標系上一動點到點的距離是點到點的距離的2倍。

（1）求點的軌跡方程；

（2）若點與點關于點對稱，求,兩點間距離的最大值。

（3）若過點的直線與點的軌跡相交于、兩點，，則是否存在直線，使 取得最大值，若存在，求出此時的方程，若不存在，請說明理由。

Answer 1

【答案】(1)；(2)14；(3)答案見解析.

【解析】試題分析：

（1）由題意結合點到直線距離公式可得關于x,y的等式，整理變形可得軌跡方程為，

（2）設，由對稱性可得點Q的軌跡方程為圓，則 ；

（3）由題意知的斜率一定存在，設直線的斜率為，設，，，聯(lián)立直線與圓的方程可得，滿足題意時：.由點到直線距離公式結合圓的弦長公式可得，其中，據(jù)此可得滿足題意時直線的斜率為，直線的方程為或.

試題解析：

（1）由已知，，

∴，即，

（2）設，因為點與點關于點對稱，

則點坐標為，

∵點在圓上運動，∴點的軌跡方程為,

即：，

；

（3）由題意知的斜率一定存在，設直線的斜率為，且，，

則，

聯(lián)立方程：，

∴，

又∵直線不經(jīng)過點，則.

∵點到直線的距離，，

∴，

∵，

∴當時，取得最大值2，此時，，

∴直線的方程為或.