Question

如圖, 平面平面, 是以為斜邊的等腰直角三角形, 分別為, , 的中點, , ．

(1) 設(shè)是的中點, 證明：平面；
(2) 證明：在內(nèi)存在一點, 使平面, 并求點到, 的距離．

Answer 1

（1）建立直角坐標(biāo)系，利用向量的數(shù)量積為零來得到證明。
（2）到, 的距離為．

解析試題分析：證明：
（I）  如圖, 連結(jié)OP, 以O(shè)為坐標(biāo)原點, 分別以O(shè)B、OC、OP所在直線為軸, 軸, 軸, 建立空間直角　
坐標(biāo)系O,  


,  -2分
由題意得, 因,
因此平面BOE的法向量為,  4分
得, 又直線不在平面內(nèi),
因此有平面 6分
（II）設(shè)點M的坐標(biāo)為, 則, 因為平面BOE, 所以有, 因此有, 即點M的坐標(biāo)為,  9分
在平面直角坐標(biāo)系中, 的內(nèi)部區(qū)域滿足不等式組, 經(jīng)檢驗, 點M的坐標(biāo)滿足上述不等式組, 所以在內(nèi)存在一點, 使平面,  11分
由點M的坐標(biāo)得點到, 的距離為．     12分
考點：距離和垂直的證明
點評：主要是考查了空間直角坐標(biāo)系中直線的垂直，以及點到直線距離的求解，屬于中檔題。