Question

11．已知橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$過點(diǎn)P（1，2），則m+n的最小值為9．

Answer 1

分析 將P（1，2），代入橢圓方程，則$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}=1$，（m＞0，n＞0），由基本不等式的性質(zhì)則m+n=（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）=1+$\frac{4m}{n}$+$\frac{n}{m}$+4≥5+2$\sqrt{\frac{4m}{n}•\frac{n}{m}}$=9．

解答 解：將P（1，2），代入橢圓$\frac{x^2}{m}+\frac{y^2}{n}=1$，則$\frac{1}{m}+\frac{4}{n}=1$，（m＞0，n＞0），
m+n=（m+n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{4}{n}$）=1+$\frac{4m}{n}$+$\frac{n}{m}$+4≥5+2$\sqrt{\frac{4m}{n}•\frac{n}{m}}$=9，
當(dāng)且僅當(dāng)$\frac{4m}{n}$=$\frac{n}{m}$時(shí)，m=3，n=6時(shí)，取等號(hào)，
∴m+n的最小值9，
故答案為：9．

點(diǎn)評(píng) 本題考查基本等式及橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．