Question

16．已知直線y=-x+1與橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）相交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若橢圓的離心率e∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，則a的最大值為$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

Answer 1

分析 將直線方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得2a²=1+$\frac{1}{1-{e}^{2}}$，由離心率的取值范圍，即可求得a的最大值．

解答 解：設(shè)A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1}\end{array}\right.$，消去y，可得（a²+b²）x²-2a²x+a²（1-b²）=0，
∴則x₁+x₂=$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$，x₁x₂=$\frac{{a}^{2}（1-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}$，
由△=（-2a²）²-4a²（a²+b²）（1-b²）＞0，整理得a²+b²＞1．
∴y₁y₂=（-x₁+1）（-x₂+1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1．
∵OA⊥OB（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0
∴x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（-x₁+1）（-x₂+1）=0，化簡(jiǎn)得2x₁x₂-（x₁+x₂）+1=0．
∴2•$\frac{{a}^{2}（1-^{2}）}{{a}^{2}+^{2}}$-$\frac{2{a}^{2}}{{a}^{2}+^{2}}$+1=0．整理得a²+b²-2a²b²=0．
∵b²=a²-c²=a²-a²e²，
∴代入上式，化簡(jiǎn)得2a²=1+$\frac{1}{1-{e}^{2}}$，
∴a²=$\frac{1}{2}$（1+$\frac{1}{1-{e}^{2}}$）．
∵e∈[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，平方得$\frac{1}{4}$≤e²≤$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{1}{4}$≤1-e²≤$\frac{3}{4}$，可得 $\frac{4}{3}$≤$\frac{1}{1-{e}^{2}}$≤4，
因此$\frac{7}{3}$≤2a²=1+$\frac{1}{1-{e}^{2}}$≤5，$\frac{7}{6}$≤a²≤$\frac{5}{2}$，可得a²的最大值為$\frac{5}{2}$，
滿足條件a²+b²＞1，
∴當(dāng)橢圓的離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$時(shí)，a的最大值為$\frac{\sqrt{10}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．