Question

對(duì)于任意實(shí)數(shù)a（a≠0）和b，不等式|a+b|+|2a-b|≥|b|（|x-1|+|x-2|）恒成立，試求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：絕對(duì)值三角不等式

專題：計(jì)算題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：分類討論，當(dāng)b≠0時(shí)，|x-1|+|x-2|≤

|a+b|+|2a-b|

|b|

恒成立，故|x-1|+|x-2|小于或等于

|a+b|+|2a-b|

|b|

的最小值，即可得出結(jié)論．

解答： 解：（1）當(dāng)b=0時(shí)，原不等式恒成立，則x∈R．
（2）當(dāng)b≠0時(shí)，|x-1|+|x-2|≤

|a+b|+|2a-b|

|b|

恒成立，故|x-1|+|x-2|小于或等于

|a+b|+|2a-b|

|b|

的最小值．
設(shè)t=

a

b

，則

|a+b|+|2a-b|

|b|

=|t+1|+|2t-1|=

3t，t≥ 1 2 -t+2，-1＜t＜ 1 2 -3t，t≤-1

，
∴t=

1

2

時(shí)，取到最小值

3

2

，
∴|x-1|+|x-2|≤

3

2

，|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
故不等式的解集為[

3

4

，

9

4

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，判斷|x-1|+|x-2|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到1和2對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，是解題的關(guān)鍵．