Question

11．（1）等差數(shù)列{a_n}的各項均為正數(shù)，a₁=3，前n項和為S_n，S₁₀=120，求a_n；
（2）已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx+2cos²x-1，-$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{π}{3}$，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）基本量法，即用a₁，d表示S₁₀，列出關(guān)于d的方程，解出d，即可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）由平方降冪公式及二倍角公式、兩角和與差的正弦公式化簡函數(shù)解析式可得$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{3}）$，由-$\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{3}$可得0$≤2x+\frac{π}{3}≤π$，由三角函數(shù)性質(zhì)可求出值域．

解答 解：（1）由題意得設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
此時${S}_{10}=\frac{10（{a}_{1}+{a}_{10}）}{2}$=$\frac{10（{a}_{1}+{a}_{1}+9d）}{2}$=120，
解得d=2，
∴a_n=a₁+（n-1）d=2n+1．
（2）∵f（x）=2$\sqrt{3}sinxcosx+2co{s}^{2}x-1$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x$=2sin（2x+$\frac{π}{6}$），-$\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{3}$，
又-$\frac{π}{6}≤x≤\frac{π}{3}$，從而-$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{5π}{6}$，
∴2x+$\frac{π}{6}$=0時，f（x）_min=0，2x+$\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$時，f（x）_max=2，
故函數(shù)f（x）的值域為[0，2]．

點評 本題考查數(shù)列的通項的求法，考查函數(shù)的值域的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意等差數(shù)列及函數(shù)性質(zhì)的合理運用．