Question

20．如圖，五面體ABCDE，四邊形ABDE是矩形，△ABC是正三角形，AB=1，AE=2，F是線段BC上一點，直線BC與平面ABD所成角為30°，CE∥平面ADF．
（1）試確定F的位置．
（2）求三棱錐A-CDF的體積．

Answer 1

分析 （1）連接AD、BE相交于O，則O為BE的中點，由三角形中位線定理可得OF∥CE，再由線面平行的判定可得CE∥平面ADF；
（2）由F為BC的中點，得V_A-CDF=V_A-BFD=V_F-ABD，由已知求得C到平面ABD的距離為$\frac{1}{2}$，可得F到平面ABD的距離為$\frac{1}{4}$．再求出三角形ABD的面積，代入三棱錐體積公式求得三棱錐A-CDF的體積．

解答 解：（1）如圖，四邊形ABDE是矩形，連接AD、BE相交于O，則O為BE的中點，
取BC中點F，連接OF，則OF∥CE，
∵OF?平面ADF，CE?平面ADF，∴CE∥平面ADF．
此時F為BC中點；
（2）∵F為BC的中點，∴V_A-CDF=V_A-BFD=V_F-ABD．
∵直線BC與平面ABD所成角為30°，△ABC是正三角形，AB=1，
∴C到平面ABD的距離為$\frac{1}{2}$，F到平面ABD的距離為$\frac{1}{4}$．
又四邊形ABDE是矩形，且AE=2，∴${S}_{△ABD}=\frac{1}{2}×1×2=1$．
∴${V}_{F-ABD}=\frac{1}{3}×1×\frac{1}{4}=\frac{1}{12}$．
∴三棱錐A-CDF的體積為$\frac{1}{12}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．