【題目】如圖，某人工景觀湖外圍有兩條相互垂直的直線型公路ll，l2，且ll和l2交于點(diǎn)O．為了方便游客游覽，計(jì)劃修建一條連接公路與景觀湖的直線型公路AB．景觀湖的輪廓可以近似看成一個(gè)圓心為O，半徑為2百米的圓，且公路AB與圓O相切，圓心O到ll，l2的距離均為5百米，設(shè)OAB＝，AB長(zhǎng)為L百米．

（1）求L關(guān)于的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)為何值時(shí)，公路AB的長(zhǎng)度最短？

【答案】（1），.（2）當(dāng)時(shí)，公路的長(zhǎng)度最短

【解析】

（1）建立平面直角坐標(biāo)系，得到直線方程為，然后根據(jù)直線與圓相切，得，再根據(jù)題意得到，于是，即為所求．（2）利用換元法求解，令，則，且，于是，然后結(jié)合導(dǎo)數(shù)求解可得所求最值．

（1）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則．

在直角中，，，

所以直線方程為，

即，

因?yàn)橹本�與圓相切，

所以，

因?yàn)辄c(diǎn)在直線的上方，

所以，

解得．

因此L關(guān)于的函數(shù)解析式為，．

（2）令，則，且，

所以，

因?yàn)?/span>，

所以在上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)，即時(shí)，取得最小值，且．

故當(dāng)時(shí)，公路的長(zhǎng)度最短．

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率等于時(shí)，軸.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與直線相交于點(diǎn)，試判斷以為直徑的圓是否過(guò)軸上的定點(diǎn)？若是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（Ⅰ）將的方程化為普通方程，將的方程化為直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）已知直線的參數(shù)方程為，為參數(shù)，且，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，且，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】若函數(shù)對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)值，在其定義域內(nèi)都存在唯一的，使成立，則稱該函數(shù)為“依賴函數(shù)”.

（1）判斷函數(shù)是否為“依賴函數(shù)”，并說(shuō)明理由；

（2）若函數(shù)在定義域（）上為“依賴函數(shù)”，求的取值范圍；

（3）已知函數(shù)在定義域上為“依賴函數(shù)”.若存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】在四棱錐P﹣ABCD中，，E是PC的中點(diǎn)，平面PAC⊥平面ABCD．

（1）證明：ED∥平面PAB；

（2）若，求二面角A﹣PC﹣D的余弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】給定實(shí)數(shù) t，已知命題 p：函數(shù) 有零點(diǎn)；命題 q： x∈[1，＋∞) ≤4－1.

(Ⅰ)當(dāng) t＝1 時(shí)，判斷命題 q 的真假；

(Ⅱ)若 p∨q 為假命題，求 t 的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為迎接2022年冬奧會(huì)，北京市組織中學(xué)生開(kāi)展冰雪運(yùn)動(dòng)的培訓(xùn)活動(dòng)，并在培訓(xùn)結(jié)束后對(duì)學(xué)生進(jìn)行了考核．記X表示學(xué)生的考核成績(jī)，并規(guī)定X≥85為考核優(yōu)秀．為了了解本次培訓(xùn)活動(dòng)的效果，在參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生的考核成績(jī)，并作成如下莖葉圖．

（1）從參加培訓(xùn)的學(xué)生中隨機(jī)選取1人，請(qǐng)根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，估計(jì)這名學(xué)生考核優(yōu)秀的概率；

（2）從圖中考核成績(jī)滿足X[70，79]的學(xué)生中任取3人，設(shè)Y表示這3人重成績(jī)滿足≤10的人數(shù)，求Y的分布列和數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知F是拋物線的焦點(diǎn)，點(diǎn)M是拋物線上的定點(diǎn)，且.

(1)求拋物線C的方程；

(2)直線AB與拋物線C交于不同兩點(diǎn)，直線與AB平行，且與拋物線C相切，切點(diǎn)為N，試問(wèn)△ABN的面積是否是定值.若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】為了調(diào)查民眾對(duì)國(guó)家實(shí)行“新農(nóng)村建設(shè)”政策的態(tài)度，現(xiàn)通過(guò)網(wǎng)絡(luò)問(wèn)卷隨機(jī)調(diào)查了年齡在20周歲至80周歲的100人，他們年齡頻數(shù)分布和支持“新農(nóng)村建設(shè)”人數(shù)如下表：

年齡

頻數(shù)

10

20

30

20

10

10

支持“新農(nóng)村建設(shè)”

3

11

26

12

6

2

（1）根據(jù)上述統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為以50歲為分界點(diǎn)對(duì)“新農(nóng)村建設(shè)”政策的支持度有差異；

年齡低于50歲的人數(shù)

年齡不低于50歲的人數(shù)

合計(jì)

支持

不支持

合計(jì)

（2）為了進(jìn)一步推動(dòng)“新農(nóng)村建設(shè)”政策的實(shí)施，中央電視臺(tái)某節(jié)目對(duì)此進(jìn)行了專題報(bào)道，并在節(jié)目最后利用隨機(jī)撥號(hào)的形式在全國(guó)范圍內(nèi)選出4名幸運(yùn)觀眾（假設(shè)年齡均在20周歲至80周歲內(nèi)），給予適當(dāng)?shù)莫?jiǎng)勵(lì).若以頻率估計(jì)概率，記選出4名幸運(yùn)觀眾中支持“新農(nóng)村建設(shè)”人數(shù)為，試求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考數(shù)據(jù)：

0.150

0.100

0.050

0.025

0.010

0.005

0.001

2.072

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

10.828

參考公式：，其中.

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