隨機變量X的分布列如下表如示,若數(shù)列{pn}是以p1為首項,以q為公比的等比數(shù)列,則稱隨機變量X服從等比分布,記為Q(p1,q).現(xiàn)隨機變量X∽Q(
1
63
,2).
X 1 2 n
P p1 p2 pn
(Ⅰ)求n 的值并求隨機變量X的數(shù)學期望EX;
(Ⅱ)一個盒子里裝有標號為1,2,…,n且質(zhì)地相同的標簽若干張,從中任取1張標簽所得的標號為隨機變量X.現(xiàn)有放回的從中每次抽取一張,共抽取三次,求恰好2次取得標簽的標號不大于3的概率.
分析:(Ⅰ)依題意得求出和的表達式進而解得n=6,所以可得X的分布列,求出隨機變量X的期望,利用數(shù)列的有關知識求和即可得到答案.
(Ⅱ)由(Ⅰ)中隨機變量X的分布列可得隨機抽取一次取得標簽的標號不大于3的概率,進而根據(jù)獨立重復試驗的公式可得答案.
解答:解:(Ⅰ)依題意得,數(shù)列{pn}是以
1
63
為首項,以2為公比的等比數(shù)列,
所以Sn=p1+p2+…+pn=
1
63
(1-2n)
1-2
=1(1分)
解得n=6.(3分)
所以可得X的分布列為:
X 1 2 3 4 5 6
P
1
63
2
63
4
63
8
63
16
63
32
63
所以EX=1•p1+2•p2+…+6p6=1•
1
63
+2•
22
63
+…+6•
25
63

=
1
63
(1•20+2•21+…+6•25)
(4分)
所以2EX=
1
63
(1•21+2•22+…+6•26)
(5分)
兩式相減得EX=
1
63
[6•26-(25+24+23+22+21+20)]
(6分)
=
1
63
[6•26-
26-1
2-1
]=
1
63
(5•26+1)=
321
63
=
107
21
,(7分)
所以隨機變量X的數(shù)學期望EX
107
21

(Ⅱ)由(Ⅰ)中隨機變量X的分布列可得:
隨機抽取一次取得標簽的標號不大于3的概率為
1
63
+
2
63
+
4
63
=
1
9
(10分)
所以恰好2次取得標簽的標號小于3的概率為
C
2
3
(
1
9
)
2
•(1-
1
9
)
=
8
243
(13分)
點評:解決此類問題的關鍵是熟練掌握離散型隨機變量的期望與方差,以及利用錯位相減法求數(shù)列的和.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知離散型隨機變量X的分布列如表.若EX=0,DX=1,則a=
 
,b=
 
X -1 0 1 2
P a b c
1
12

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知隨機變量X的分布列如圖:其中m,n∈[0,1),且E(X)=
1
6
,則m,n的值分別為( 。
A、
1
12
,
1
2
B、
1
6
,
1
6
C、
1
4
,
1
3
D、
1
3
,
1
4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知隨機變量X的分布列如圖,若EX=3,則b=
 

X B 2 4
P a
1
4
1
4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知離散型隨機變量X 的分布列如右圖.若E(X)=0,D(X)=1,則a、b、c的值依次為
5
12
1
4
,
1
4
5
12
,
1
4
,
1
4

查看答案和解析>>

科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知離散型隨機變量x的分布列如右表.若Eξ=0,Dξ=1,則符合條件的一組數(shù)(a,b,c)=
 

查看答案和解析>>

同步練習冊答案