【題目】已知各項均為整數(shù)的數(shù)列{an}滿足an2≤1,1≤a12+a22+…+an2≤m,m,n∈N* .
(1)若m=1,n=2,寫出所有滿足條件的數(shù)列{an};
(2)設滿足條件的{an}的個數(shù)為f(n,m).
①求f(2,2)和f(2016,2016);
②若f(m+1,m)>2016,試求m的最小值.
【答案】
(1)解:當m=1,n=2時,1≤ ≤1,又 ≤1
∴{an}為0,1或0,﹣1或1,0或﹣1,0
(2)解:①當m=n=2時,1≤ ≤2,a1、a2取值共有:32﹣1=8種,
即f(2,2)=8,
又當m=n=2016時,1≤ ≤2016,a1、a2、a2016取值共有:32016﹣1種;
即f(2016,2016)=32016﹣1f(m+1,m)>2016即1≤ ≤m
②數(shù)列{an}需滿足不能全為0,不能沒有0(即每項均為1或﹣1),
∴f(m+1,m)=3m+1﹣1﹣2m+1,
即考慮3m+1﹣2m+1﹣1>2016,
令g(m)=3m+1﹣2m+1,
則g(m+1)﹣g(m)=2×3m+1﹣2m+1>0
∴g(m)單調(diào)增
又g(6)=2059成立,
∴m最小值為6
【解析】(1)若m=1,n=2,1≤ ≤1,又 ≤1,即可求得所有滿足條件的數(shù)列{an};(2)①)當m=n=2時,1≤ ≤2,由a1、a2可能取值為0,1,﹣1,則a1、a2取值共有:32﹣1=8種,當m=n=2016時,1≤ ≤2016,a1、a2、a2016可能取值為0,1,﹣1,共有:32016﹣1種;②由f(m+1,m)=3m+1﹣1﹣2m+1 , 將原式轉換為3m+1﹣2m+1>2017,構造輔助函數(shù)g(m)=3m+1﹣2m+1 , 做差g(m+1)﹣g(m)=2×3m+1﹣2m+1>0,g(x)單調(diào)遞增,又g(6)=2059成立,即可求得m的最小值.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】觀察下列等式
l+2+3+…+n= n(n+l);
l+3+6+…+ n(n+1)= n(n+1)(n+2);
1+4+10+… n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n+2)(n+3);
可以推測,1+5+15+…+ n(n+1)(n+2)(n+3)= .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知a>0且a≠1,函數(shù) ,
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)將函數(shù)y=f(x)的圖象向右平移兩個單位后得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若實數(shù)x滿足g(x)≥0,求x的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設, .
(1)若,求的單調(diào)區(qū)間;
(2)討論在區(qū)間上的極值點個數(shù);
(3)是否存在,使得在區(qū)間上與軸相切?若存在,求出所有的值;若不存在,說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB⊥AC,AB=2,AC=4,AA1=2,D為BC的中點.則直線DB1與平面A1C1D所成角的正弦值 .
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AB⊥AD,BC= ,AB=1,BD=PA=2,M 為PD的中點.
(1)求異面直線BD與PC所成角的余弦值;
(2)求二面角A﹣MC﹣D的平面角的余弦值.
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【題目】為了調(diào)查某地區(qū)老年人是否需要志愿者提供幫助,用簡單隨機抽樣方法從該地區(qū)調(diào)查了500位老年人,結果如下:
男 | 女 | 總計 | |
需要幫助 | 40 | m | 70 |
不需要幫助 | n | 270 | s |
總計 | 200 | t | 500 |
(1)求m,n,s,t的值;
(2)估計該地區(qū)老年人中,需要志愿者提供幫助的比例;
(3)能否有99%的把握認為該地區(qū)的老年人是否需要志愿者幫助與性別有關.
參考公式:
隨機變量K2= ,n=a+b+c+d
在2×2列聯(lián)表:
y1 | y2 | 總計 | |
x1 | a | b | a+b |
x2 | c | d | c+d |
總計 | a+c | b+d | a+b+c+d |
P(K2≥k0) | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k0 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=(log2x)2﹣4log2x+1.
(1)求f(8)的值;
(2)當2≤x≤16時,求f(x)的最大值和最小值.
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