【題目】已知橢圓C: + =1(0<b<3)的左右焦點(diǎn)分別為E,F(xiàn),過(guò)點(diǎn)F作直線交橢圓C于A,B兩點(diǎn),若
(1)求橢圓C的方程;
(2)已知點(diǎn)O為原點(diǎn),圓D:(x﹣3)2+y2=r2(r>0)與橢圓C交于M,N兩點(diǎn),點(diǎn)P為橢圓C上一動(dòng)點(diǎn),若直線PM,PN與x軸分別交于點(diǎn)R,S,求證:|OR||OS|為常數(shù).

【答案】
(1)解:設(shè)|BF|=m,則|AF|=2m,|BE|=6﹣m,|AE|=6﹣2m,|AB|=3m.

則有(6﹣2m)2+(3m)2=(6﹣m)2,解得m=1

∴|AF|=2,|BE|=5,|AE|=4,|AB|=3,

∴|AB|2+|AE|2=|BE|2,∴AE⊥AF.

于是,在Rt△AEF中,|EF|2=|AE|2+|AF|2=42+22=20,

所以|EF|=2 ,所以b2=9﹣( 2=4,

橢圓C的方程為


(2)證明:由條件可知M、N兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),

設(shè)M(x1,y1),P(x0,y0),則N(x1,﹣y1),

=1,

所以 ,

直線PM的方程為 ,

令y=0得點(diǎn)R的橫坐標(biāo) ,

同理可得點(diǎn)S的橫坐標(biāo)

于是

=

所以,|OR||OS|為常數(shù)9.


【解析】(1)設(shè)|BF|=m,推導(dǎo)出(6﹣2m)2+(3m)2=(6﹣m)2 , 從而m=1,進(jìn)而AE⊥AF.由此能求出橢圓C的方程.(2)由條件可知M、N兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng),設(shè)M(x1 , y1),P(x0 , y0),則N(x1 , ﹣y1),直線PM的方程為 ,令y=0得點(diǎn)R的橫坐標(biāo) ,同理可得點(diǎn)S的橫坐標(biāo) .由此能證明|OR||OS|為常數(shù).

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手機(jī)控

非手機(jī)控

合計(jì)

男性

26

24

50

女性

30

20

50

合計(jì)

56

44

100


(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù),能否有60%的把握認(rèn)為“手機(jī)控”與“性別”有關(guān)?
(2)現(xiàn)從調(diào)查的女性用戶中按分層抽樣的方法選出5人,求所抽取5人中“手機(jī)控”和“非手機(jī)控”的人數(shù);
(3)從(2)中抽取的5人中再隨機(jī)抽取3人,記這3人中“手機(jī)控”的人數(shù)為X,試求X的分布列與數(shù)學(xué)期望. 參考公式:
參考數(shù)據(jù):

P(K2≥k0

0.50

0.40

0.25

0.05

0.025

0.010

k0

0.456[

0.708

1.321

3.840

5.024

6.635

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A.
B.
C.
D.

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