Question

【題目】已知函數(shù)f（x）＝ex（x﹣2）ax2+ax（a∈R）.

（1）當a＝1時，求f（x）的極值；

（2）若f（x）恰有兩個零點，求實數(shù)a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f（x）極大值＝﹣2，f（x）極小值＝﹣e；（2）a∈（﹣∞，0）∪{2e}.

【解析】

（1）代入a的值，求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的極值即可；

（2）顯然x＝2是函數(shù)f（x）的一個零點，若f（x）恰有兩個零點，則只需y＝exax恰有1個零點，問題轉化為只需g（x）＝ex和h（x）ax只有1個交點即可，通過討論a的范圍，結合函數(shù)的圖象判斷即可.

（1）a＝1時，f（x）＝ex（x﹣2）x2+x，

f′（x）＝ex（x﹣1）﹣x+1＝（x﹣1）（ex﹣1），

令f′（x）＞0，解得：x＞1或x＜0，

令f′（x）＜0，解得：0＜x＜1，

故f（x）在（﹣∞，0）遞增，在（0，1）遞減，在（1，+∞）遞增，

故f（x）極大值＝f（0）＝﹣2，f（x）極小值＝f（1）＝﹣e.

（2）f（x）＝ex（x﹣2）ax2+ax＝（x﹣2）（exax），

顯然x＝2是函數(shù)f（x）的一個零點，若f（x）恰有兩個零點，

則只需y＝exax恰有1個零點，

即只需g（x）＝ex和h（x）ax只有1個交點即可，

①a＜0時，如圖示：

結合圖象，a＜0時g（x）＝ex和h（x）ax只有1個交點，符合題意；

②a＝0時，g（x）＝ex和y＝0無交點，不合題意；

③a＞0時，g（x）＝ex和h（x）ax相切時1個交點，

設切點是P（m，em），則a＝em（i），

emam（ii），由（i）（ii）解得：P（1，e），a＝2e，符合題意，

綜上，若f（x）恰有兩個零點，則a∈（﹣∞，0）∪{2e}.