Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1的左右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F₁、F₂，右頂點(diǎn)為A，上頂點(diǎn)為B，P為橢圓第一象限內(nèi)一點(diǎn)．
（1）若S△PF1F2=S△PAF2，求橢圓的離心率；
（2）若S△PF1F2=S△PBF1，求直線PF₁斜率．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）根據(jù)S△PF1F2=S△PAF2，得

1

2

|F1F2||PF2|sin∠PF2F1=

1

2

|AF2||PF2|sin(180°-∠PF2F1)，這樣即可得到2c=a-c，所以便能求出離心率e=

c

a

；
（2）設(shè)直線PF₁的斜率為k，可以寫出PF₁的方程，由已知條件知B到PF₁的距離等于F₂到PF₁的距離，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，即可建立關(guān)于k的方程，解方程即可求出k．

解答： 解：（1）如圖，∵S△PF1F2=S△PAF2，

1

2

|F1F2||PF2|sin∠PF2F1═

1

2

|AF2||PF2|sin(180°-∠PF2F1)；
∴|F₁F₂|=|AF₂|，2c=a-c，3c=a，∴

c

a

=

1

3

，即橢圓的離心率為

1

3

．
（2）設(shè)PF₁的斜率為k，F(xiàn)₁（-c，0），則直線PF₁的方程為：y=k（x+c），B（0，b），F(xiàn)₂（c，0）；
∵S△PF1F2=S△PBF1，點(diǎn)B到PF₁的距離等于點(diǎn)F₂到PF₁的距離，即：

|-b+kc|

k2+1

=

|2kc|

k2 +1

，∵P在第一象限，∴解得k=

b

3c

=

b

3 a2-b2

；
即直線PF₁的斜率為：

b

3 a2-b2

．

點(diǎn)評(píng)：考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的頂點(diǎn)及焦點(diǎn)，三角形面積公式，點(diǎn)到直線的距離公式．