Question

3．已知函數(shù)f（x）=2^x且f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）為奇函數(shù)，h（x）為偶函數(shù)，則不等式g（x）＞h（0）的解集是（1+$\sqrt{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意，有g（x）+h（x）=2^x①，結合函數(shù)奇偶性的性質可得f（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x②，聯(lián)立①②解可得h（x）與g（x）的解析式，進而可以將g（x）＞h（0）轉化為$\frac{1}{2}$（2^x-2^-x）＞$\frac{1}{2}$（2⁰+2^-0）=1，變形可得2^x-2^-x＞2，解可得x的取值范圍，即可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，f（x）=2^x且f（x）=g（x）+h（x），即g（x）+h（x）=2^x，①
則有f（-x）=g（-x）+h（-x）=2^-x，
又由g（x）為奇函數(shù)，h（x）為偶函數(shù)，則f（-x）=-g（x）+h（x）=2^-x，②
聯(lián)立①②，解可得h（x）=$\frac{1}{2}$（2^x+2^-x），g（x）=$\frac{1}{2}$（2^x-2^-x），
不等式g（x）＞h（0）即$\frac{1}{2}$（2^x-2^-x）＞$\frac{1}{2}$（2⁰+2^-0）=1，
即2^x-2^-x＞2，
解可得2^x＞1+$\sqrt{2}$，
則有x＞log₂（1+$\sqrt{2}$），
即不等式g（x）＞h（0）的解集是（1+$\sqrt{2}$，+∞）；
故答案為：（1+$\sqrt{2}$，+∞）．

點評 本題考查函數(shù)奇偶性的應用，關鍵求出函數(shù)g（x）與h（x）的解析式．