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14.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F與橢圓C':x26+y25=1的一個(gè)焦點(diǎn)重合,點(diǎn)A(x0,2)在拋物線上,過焦點(diǎn)F的直線l交拋物線于M、N兩點(diǎn).
(1)求拋物線C的方程以及|AF|的值;
(2)記拋物線C的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)B,若MF=λFN,|BM|2+|BN|2=40,求實(shí)數(shù)λ的值.

分析 (1)依題意F(1,0),故p2=1,則2p=4,可得拋物線C的方程.將A(x0,2)代入拋物線方程,解得x0,即可得|AF|的值
(2)依題意,F(xiàn)(1,0),設(shè)l:x=my+1,設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),聯(lián)立方程{y2=4xx=my+1,消去x,得y2-4my-4=0,則|BM|2+|BN|2=BM2+BN2=x1+12+y12+x2+12+y22=x12+x22+2x1+x2+2+y12+y22=(m2+1)(16m2+8)+4m•4m+8=16m4+40m2+16=40,解得λ.

解答 解:(1)依題意,橢圓Cx26+y25=1中,a2=6,b2=5,故c2=a2-b2=1,故p2=1,則2p=4,
可得拋物線C的方程為y2=4x.
將A(x0,2)代入y2=4x,解得x0=1,故|AF|=1+p2=2
(2)依題意,F(xiàn)(1,0),設(shè)l:x=my+1,設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),
聯(lián)立方程{y2=4xx=my+1,消去x,得y2-4my-4=0.
所以{y1+y2=4my1y2=4,①且{x1=my1+1x2=my2+1
MF=λFN,則(1-x1,-y1)=λ(x2-1,y2),即y1=-λy2
代入①得{λ(lán)y22=41λy2=4m,消去y24m2=λ+1λ2
易得B(-1,0),則BM=x1+1y1BN=x2+1y2,
|BM|2+|BN|2=BM2+BN2=x1+12+y12+x2+12+y22=x12+x22+2x1+x2+2+y12+y22
=my1+12+my2+12+2my1+my2+2+2+y12+y22=m2+1y12+y22+4my1+y2+8
=(m2+1)(16m2+8)+4m•4m+8=16m4+40m2+16,
當(dāng)16m4+40m2+16=40,解得m2=12,故λ=2±3

點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的方程與性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了向量與曲線,屬于中檔題.

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