分析 (1)依題意F(1,0),故p2=1,則2p=4,可得拋物線C的方程.將A(x0,2)代入拋物線方程,解得x0,即可得|AF|的值
(2)依題意,F(xiàn)(1,0),設(shè)l:x=my+1,設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),聯(lián)立方程{y2=4xx=my+1,消去x,得y2-4my-4=0,則|→BM|2+|→BN|2=→BM2+→BN2=(x1+1)2+y12+(x2+1)2+y22=x12+x22+2(x1+x2)+2+y12+y22=(m2+1)(16m2+8)+4m•4m+8=16m4+40m2+16=40,解得λ.
解答 解:(1)依題意,橢圓C′:x26+y25=1中,a2=6,b2=5,故c2=a2-b2=1,故p2=1,則2p=4,
可得拋物線C的方程為y2=4x.
將A(x0,2)代入y2=4x,解得x0=1,故|AF|=1+p2=2.
(2)依題意,F(xiàn)(1,0),設(shè)l:x=my+1,設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),
聯(lián)立方程{y2=4xx=my+1,消去x,得y2-4my-4=0.
所以{y1+y2=4my1y2=−4,①且{x1=my1+1x2=my2+1,
又→MF=λ→FN,則(1-x1,-y1)=λ(x2-1,y2),即y1=-λy2,
代入①得{−λ(lán)y22=−4(1−λ)y2=4m,消去y2得4m2=λ+1λ−2,
易得B(-1,0),則→BM=(x1+1,y1),→BN=(x2+1,y2),
則|→BM|2+|→BN|2=→BM2+→BN2=(x1+1)2+y12+(x2+1)2+y22=x12+x22+2(x1+x2)+2+y12+y22
=(my1+1)2+(my2+1)2+2(my1+my2+2)+2+y12+y22=(m2+1)(y12+y22)+4m(y1+y2)+8
=(m2+1)(16m2+8)+4m•4m+8=16m4+40m2+16,
當(dāng)16m4+40m2+16=40,解得m2=12,故λ=2±√3.
點(diǎn)評(píng) 本題考查了拋物線的方程與性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了向量與曲線,屬于中檔題.
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X | 1 | 2 | 3 | 4 |
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