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14.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點F與橢圓C':x26+y25=1的一個焦點重合,點A(x0,2)在拋物線上,過焦點F的直線l交拋物線于M、N兩點.
(1)求拋物線C的方程以及|AF|的值;
(2)記拋物線C的準線與x軸交于點B,若\overrightarrow{MF}=λ\overrightarrow{FN},|BM|2+|BN|2=40,求實數(shù)λ的值.

分析 (1)依題意F(1,0),故\frac{p}{2}=1,則2p=4,可得拋物線C的方程.將A(x0,2)代入拋物線方程,解得x0,即可得|AF|的值
(2)依題意,F(xiàn)(1,0),設(shè)l:x=my+1,設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),聯(lián)立方程\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{x=my+1}\end{array}}\right.,消去x,得y2-4my-4=0,則{|{\overrightarrow{BM}}|^2}+{|{\overrightarrow{BN}}|^2}={\overrightarrow{BM}^2}+{\overrightarrow{BN}^2}={({x_1}+1)^2}+{y_1}^2+{({x_2}+1)^2}+{y_2}^2={x_1}^2+{x_2}^2+2({x_1}+{x_2})+2+{y_1}^2+{y_2}^2=(m2+1)(16m2+8)+4m•4m+8=16m4+40m2+16=40,解得λ.

解答 解:(1)依題意,橢圓C':\frac{x^2}{6}+\frac{y^2}{5}=1中,a2=6,b2=5,故c2=a2-b2=1,故\frac{p}{2}=1,則2p=4,
可得拋物線C的方程為y2=4x.
將A(x0,2)代入y2=4x,解得x0=1,故|{AF}|=1+\frac{p}{2}=2
(2)依題意,F(xiàn)(1,0),設(shè)l:x=my+1,設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),
聯(lián)立方程\left\{{\begin{array}{l}{{y^2}=4x}\\{x=my+1}\end{array}}\right.,消去x,得y2-4my-4=0.
所以\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=4m}\\{{y_1}{y_2}=-4}\end{array}}\right.,①且\left\{{\begin{array}{l}{{x_1}=m{y_1}+1}\\{{x_2}=m{y_2}+1}\end{array}}\right.
\overrightarrow{MF}=λ\overrightarrow{FN},則(1-x1,-y1)=λ(x2-1,y2),即y1=-λy2
代入①得\left\{{\begin{array}{l}{-λ{y_2}^2=-4}\\{(1-λ){y_2}=4m}\end{array}}\right.,消去y24{m^2}=λ+\frac{1}{λ}-2,
易得B(-1,0),則\overrightarrow{BM}=({x_1}+1,{y_1}),\overrightarrow{BN}=({x_2}+1,{y_2})
{|{\overrightarrow{BM}}|^2}+{|{\overrightarrow{BN}}|^2}={\overrightarrow{BM}^2}+{\overrightarrow{BN}^2}={({x_1}+1)^2}+{y_1}^2+{({x_2}+1)^2}+{y_2}^2={x_1}^2+{x_2}^2+2({x_1}+{x_2})+2+{y_1}^2+{y_2}^2
={(m{y_1}+1)^2}+{(m{y_2}+1)^2}+2(m{y_1}+m{y_2}+2)+2+{y_1}^2+{y_2}^2=({m^2}+1)({y_1}^2+{y_2}^2)+4m({y_1}+{y_2})+8
=(m2+1)(16m2+8)+4m•4m+8=16m4+40m2+16,
當(dāng)16m4+40m2+16=40,解得{m^2}=\frac{1}{2},故λ=2±\sqrt{3}

點評 本題考查了拋物線的方程與性質(zhì),直線與拋物線的位置關(guān)系,考查了向量與曲線,屬于中檔題.

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