Question

橢圓

x2

4

+y2=1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1，F2，點(diǎn)M在橢圓上，

MF1

•

MF2

等于-2，則△F₁MF₂的面積等于（　�。�

• A．1
• B．

  2

• C．2
• D．

  3

Answer 1

分析：根據(jù)橢圓方程，算出橢圓的焦點(diǎn)為F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)，從而得到向量

MF1

、

MF2

的坐標(biāo)．設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，n），根據(jù)

MF1

•

MF2

=-2建立關(guān)于m、n的一個(gè)方程，由點(diǎn)M在橢圓上得到關(guān)于m、n的另一個(gè)方程，兩個(gè)方程聯(lián)解即可得到n=±1，由此結(jié)合橢圓的焦距|F₁F₂|=2

3

，即可算出△F₁MF₂的面積的值．

解答：解：∵橢圓方程為

x2

4

+y2=1，
∴a²=4，b²=1，可得c=

a2-b2

=

3

因此，橢圓的焦點(diǎn)為F1(-

3

，0)，F2(

3

，0)
設(shè)橢圓上的點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，n），可得

m2

4

+n2=1…①
∵

MF1

=(-

3

-m，-n)，

MF2

=(

3

-m，-n)，

MF1

•

MF2

=-2
∴（-

3

-m）•（

3

-m）+（-n）•（-n）=-2，化簡(jiǎn)得m²+n²=1…②
聯(lián)解①②，得m²=0且n²=1，可得M（0，±1）
∴△F₁MF₂的面積等于S=

1

2

•|F₁F₂|•|n|=

1

2

×2

3

×1=

3

故選：D

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上一點(diǎn)M，在已知數(shù)量積

MF1

•

MF2

=-2的情況下求△F₁MF₂的面積，著重考查了平面向量的數(shù)量積公式、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．