Question

20．已知關(guān)于x的不等式|mx-2|+|mx+m|≥5．
（1）當(dāng)m=1時(shí)，求此不等式的解集；
（2）若此不等式的解集為R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用絕對(duì)值的意義，求得不等式|mx-2|+|mx+m|≥5的解集．
（2）令f（x）=|mx-2|+|mx+m|，則由題意可得f（x）得最小值大于或等于5，利用絕對(duì)值三角不等式求得f（x）得最小值為|m+2|，從而求得m的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，此不等式|mx-2|+|mx+m|≥5，即|x-2|+|x+1|≥5．
由于|x-2|+|x+1|表示數(shù)軸上的x對(duì)應(yīng)點(diǎn)到2、-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和，
而-2和3對(duì)應(yīng)點(diǎn)到2、-1對(duì)應(yīng)點(diǎn)的距離之和正好等于5，
故|x-2|+|x+1|≥5 的解集為{x|x＜-2，或x＞3}．
（2）根據(jù)關(guān)于x的不等式|mx-2|+|mx+m|≥5的解集為R，可得|mx-2|+|mx+m|≥5恒成立．
令f（x）=|mx-2|+|mx+m|，則f（x）得最小值大于或等于5，
∵f（x）≥|mx-2-（mx+m）|=|m+2|，
∴|m+2|≥5，∴m+2≥5，或m+2≤-5，即 m≥3 或m≤-7，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為{x|m≥3 或m≤-7}．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查絕對(duì)值的意義，絕對(duì)值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．