Question

5．現(xiàn)有長(zhǎng)分別為1m、2m、3m的鋼管各3根（每根鋼管質(zhì)地均勻、粗細(xì)相同附有不同的編號(hào)），從中隨機(jī)抽取2根（假設(shè)各鋼管被抽取的可能性是均等的），再將抽取的鋼管相接焊成筆直的一根．若X表示新焊成的鋼管的長(zhǎng)度（焊接誤差不計(jì)）．
（1）求X的分布列；
（2）若Y=-λ²X+λ+1，E（Y）＞1，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）X可能的取值為2，3，4，5，6．求出對(duì)應(yīng)的概率，即可得X的分布列；
（2）根據(jù)期望的公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）X可能的取值為2，3，4，5，6．
則$P（{X=2}）=\frac{C_3^2}{C_9^2}=\frac{1}{12}；P（{X=3}）=\frac{C_3^1C_3^1}{C_9^2}=\frac{1}{4}$；
$P（{X=4}）=\frac{C_3^2+C_3^1C_3^1}{C_9^2}=\frac{1}{3}；P（{X=5}）=\frac{C_3^1C_3^1}{C_9^2}=\frac{1}{4}$；
$P（{X=6}）=\frac{C_3^2}{C_9^2}=\frac{1}{12}$…（5分）
∴X的分布列為：

X	2	3	4	5	6
P	$\frac{1}{12}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{3}$	$\frac{1}{4}$	$\frac{1}{12}$

…（7分）
（2）$E（x）=2×\frac{1}{12}+3×\frac{1}{4}+4×\frac{1}{3}+5×\frac{1}{4}+6×\frac{1}{12}=4$…（9分）
∵Y=-λ²X+λ+1，∴E（Y）=-λ²E（X）+λ+1=-4λ²+λ+1，
∵E（Y）＞1，∴$-4{λ^2}+λ+1⇒0＜λ＜\frac{1}{4}$．
∴實(shí)數(shù)λ的取值范圍是$（{0，\frac{1}{4}}）$…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查離散型隨機(jī)變量的期望和分布列，求出對(duì)應(yīng)的概率是解決本題的關(guān)鍵．