Question

11．如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AC=BC=1，CC₁=2，則異面直線A₁B與AC所成角的余弦值是$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

Answer 1

分析 先通過平移將兩條異面直線平移到同一個(gè)起點(diǎn)A₁，得到的銳角或直角就是異面直線所成的角，在三角形中再利用余弦定理求出此角的余弦值．

解答 解：連結(jié)BC₁，∵AC∥A₁C₁，
∴∠C₁A₁B是異面直線A₁B與AC所成角（或所成角的補(bǔ)角），
∵在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90°，AA₁=2，AC=BC=1，
∴AB=$\sqrt{2}$，A₁B=$\sqrt{6}$，BC₁=$\sqrt{5}$，A₁C₁=1，
∴cos∠C₁A₁B=$\frac{1+6-5}{2×1×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{6}}{6}$，
∴異面直線A₁B與AC所成角的余弦值為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．
故答案為$\frac{\sqrt{6}}{6}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線所成角的求法，考查余弦定理的運(yùn)用，作出異面直線A₁B與AC所成角是關(guān)鍵．