【題目】已知二次函數(shù)(其中)滿足下列三個(gè)條件:①圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn);②對(duì)于任意都成立;③方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.
(1)求函數(shù)的解析式;
(2)令(其中),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(直接寫(xiě)出結(jié)果即可);
(3)研究方程在區(qū)間內(nèi)的解的個(gè)數(shù).
【答案】(1);(2)見(jiàn)解析;(3)見(jiàn)解析
【解析】
(1)由圖象過(guò)原點(diǎn)得,由得對(duì)稱軸,方程有兩個(gè)相等實(shí)根,對(duì)應(yīng)的,三個(gè)條件可得三個(gè)等式,從而求得得解析式;
(2)化簡(jiǎn)函數(shù)為分段函數(shù),當(dāng)時(shí),結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱軸求出單調(diào)區(qū)間,時(shí)類似求出單調(diào)區(qū)間.
(3)結(jié)合(2)中函數(shù)的單調(diào)性可研究在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).注意零點(diǎn)存在定理的應(yīng)用.
(1)因?yàn)?/span>圖象過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),所以,即,
又,所以其對(duì)稱軸是,即,,
又方程為,即有兩個(gè)相等實(shí)根,所以,,
所以.
(2),
①當(dāng)時(shí),的對(duì)稱軸是,
若,即時(shí),在上單調(diào)遞增,
若,即時(shí),在上單調(diào)遞增,在上遞減,
②當(dāng)時(shí),的對(duì)稱軸是,
則函數(shù)在上遞減,在上遞增,
綜上所述,當(dāng)時(shí),的減區(qū)間為,增區(qū)間為;時(shí),減區(qū)間為,,增區(qū)間為,.
(3)①當(dāng)時(shí),由(2)知在上單調(diào)遞增,
又,,故函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn);
②時(shí),則,,,,
(i)當(dāng)時(shí),,
且,此時(shí)在上只有一個(gè)零點(diǎn),
(ii)當(dāng)時(shí),且,此時(shí)在上有兩個(gè)不同零點(diǎn).
綜上所述,當(dāng)時(shí),在上只有一個(gè)零點(diǎn),時(shí),在上有兩個(gè)不同零點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓過(guò)點(diǎn)且離心率為.
(1)求橢圓C的方程;
(2)是否存在過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且滿足.若存在,求出直線的方程;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,在P地正西方向8km的A處和正東方向1km的B處各有一條正北方向的公路AC和BD,現(xiàn)計(jì)劃在AC和BD路邊各修建一個(gè)物流中心E和F,為緩解交通壓力,決定修建兩條互相垂直的公路PE和PF,設(shè)
Ⅰ為減少對(duì)周邊區(qū)域的影響,試確定E,F的位置,使與的面積之和最。
Ⅱ為節(jié)省建設(shè)成本,求使的值最小時(shí)AE和BF的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在直角坐標(biāo)系中,直線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn),軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線的極坐標(biāo)方程為.
(Ⅰ)求和的直角坐標(biāo)方程;
(Ⅱ)若曲線截直線所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為,求的斜率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】等腰三角形ABC腰長(zhǎng)為3,底邊BC長(zhǎng)為4,將它沿高AD翻折,使點(diǎn)B與點(diǎn)C間的距離為2,此時(shí)四面體ABCD外接球表面積為____.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知向量,函數(shù).
(1)將函數(shù)的圖像向右平移m()個(gè)單位長(zhǎng)度,所得圖像對(duì)應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù),寫(xiě)出m的最小值(不要求寫(xiě)過(guò)程);
(2)若,,求的值;
(3)若函數(shù)()在區(qū)間上是單調(diào)遞增函數(shù),求正數(shù)的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為了調(diào)查一款電視機(jī)的使用時(shí)間,研究人員對(duì)該款電視機(jī)進(jìn)行了相應(yīng)的測(cè)試,將得到的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下圖所示:
并對(duì)不同年齡層的市民對(duì)這款電視機(jī)的購(gòu)買(mǎi)意愿作出調(diào)查,得到的數(shù)據(jù)如下表所示:
(1)根據(jù)圖中的數(shù)據(jù),試估計(jì)該款電視機(jī)的平均使用時(shí)間;
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù),判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“愿意購(gòu)買(mǎi)該款電視機(jī)”與“市民的年齡”有關(guān);
(3)若按照電視機(jī)的使用時(shí)間進(jìn)行分層抽樣,從使用時(shí)間在[0,4)和[4,20]的電視機(jī)中抽取5臺(tái),再?gòu)倪@5臺(tái)中隨機(jī)抽取2臺(tái)進(jìn)行配件檢測(cè),求被抽取的2臺(tái)電視機(jī)的使用時(shí)間都在[4,20]內(nèi)的概率.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是定義在R上的奇函數(shù),且滿足,=1,數(shù)列{}滿足=﹣1, (),其中是數(shù)列{}的前n項(xiàng)和,則=
A. ﹣2 B. ﹣1 C. 0 D. 1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知二次函數(shù)滿足條件是偶函數(shù), ,且的圖象與直線恰有一個(gè)公共點(diǎn).
(1)求的解析式;
(2)設(shè),是否存在實(shí)數(shù),使得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為2?如果存在,求出的值;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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