Question

4．已知橢圓C的左右焦點坐標分別是（-2，0），（2，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，若P為橢圓C上的任意一點，過點P垂直于y軸的直線交y軸于點Q，M為線段QP的中點，則點M的軌跡方程為$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

Answer 1

分析 利用焦點坐標qcc，離心率求出a，然后求解b，求出橢圓方程，然后設出M坐標，轉(zhuǎn)化為P，代入求解即可．

解答 解：橢圓C的左右焦點坐標分別是（-2，0），（2，0），離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
可得c=2，a=2$\sqrt{2}$，則b=2，
橢圓C的方程為：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
設M（x，y）則P（2x，y）代入：$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
可得：$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
則點M的軌跡方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

點評 本題考查軌跡方程的求法，轉(zhuǎn)化思想的應用，考查計算能力．