Question

已知函數(shù)f(x)=1+

2

x

，數(shù)列{x_n}滿足x₁=

11

7

，x_n+1=f（x_n）；若b_n=

1

xn-2

+

1

3

．
（1）求證數(shù)列{b_n}是等比數(shù)列，并求其通項公式；
（2）若c_n=3ⁿ-λb_n（λ為非零整數(shù)，n∈N*），試確定λ的值，使得對任意n∈N*，都有c_n+1＞c_n成立．

Answer 1

分析：（1）先由f（x）的式子給出x_n+1的表達(dá)式，然后由b_n的式子給出b_n+1的表達(dá)式，再用等比數(shù)列的定義證出

bn+1

bn

是一個常數(shù)，最后由等比數(shù)列的通項公式給出b_n的表達(dá)式；
（2）用作差的方法得到一個關(guān)于λ和n的不等式，根據(jù)變量n的奇偶性將不等式分為兩種情況進(jìn)行討論，得出λ的范圍，最后從所得范圍中找出λ的整數(shù)值．

解答：解：（1）由已知，xn+1=

xn+2

xn

，
∴

bn+1

bn

=

1 xn+1-2 + 1 3

1 xn-2 + 1 3

=

1 xn+2 xn -2 + 1 3

1 xn-2 + 1 3

=-2，（4分）
∴{b_n}是等比數(shù)列，且q=-2；又b1=

1

x1-2

+

1

3

=-2，∴b_n=（-2）ⁿ．（6分）
（2）要使c_n+1＞c_n恒成立，
即要c_n+1-c_n=[3ⁿ⁺¹-λ（-2）ⁿ⁺¹]-[3ⁿ-λ（-2）ⁿ]=2•3ⁿ+3λ（-2）ⁿ＞0恒成立，
即要(-1)n•λ＞-(

3

2

)n-1恒成立．下面分n為奇數(shù)、n為偶數(shù)討論：（8分）
①當(dāng)n為奇數(shù)時，即λ＜(

3

2

)n-1恒成立．又(

3

2

)n-1的最小值為1．∴λ＜1．
②當(dāng)n為偶數(shù)時，即λ＞-(

3

2

)n-1恒成立，又-(

3

2

)n-1的最大值為-

3

2

，∴λ＞-

3

2

．
綜上，-

3

2

＜λ＜1，又λ為非零整數(shù)，
∴λ=-1時，使得對任意n∈N*，都有c_n+1＞c_n成立．（14分）

點評：本題綜合了函數(shù)、數(shù)列、不等式三個常見考點，屬于難題．第一小問證明等比數(shù)列，抓住函數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵；第二小問求參數(shù)λ的范圍，注意運用變量分離的方法，結(jié)合分類討論的思想進(jìn)行解答．