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10.如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,CC1⊥平面ABC,AC=BC=12AA1,D是棱AA1的中點,DC1⊥BD.
(Ⅰ)證明:DC1⊥BC;
(Ⅱ)設(shè)AA1=2,A1B1的中點為P,求點P到平面BDC1的距離.

分析 (1)由題目條件結(jié)合勾股定理,即可證得結(jié)論;
(2)建立空間直角坐標系,代入運用公式進行計算即可得出答案.

解答 (1)證明:由題設(shè)知,三棱柱的側(cè)面為矩形.
∵D為AA1的中點,∴DC=DC1
AC=12AA1,可得DC12+DC2=CC12,∴DC1⊥DC.
而DC1⊥BD,DC∩BD=D,∴DC1⊥平面BCD.
∵BC?平面BCD,∴DC1⊥BC.…(4分)
(2)解:由(1)知BC⊥DC1,且BC⊥CC1,則BC⊥平面ACC1A1,
∴CA,CB,CC1兩兩垂直.
以C為坐標原點,CA的方向為x軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz.
由題意知,B010D101C1002B1012P12122,.
BD=111DC1=101,PC1=12120
設(shè)m=xyz是平面BDC1的法向量,
{mBD=0mDC1=0,即{xy+z=0x+z=0,
可取m=121
設(shè)點P到平面BDC1的距離為d,
d=|PC1m|m||=64.…12分

點評 本題考查線線垂直的證明,考查點面距離的計算,屬于中檔題.

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(1)當a=1時,請寫出f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間;
(2)當2≤a<9時,設(shè)f(x)=f2(x)對應(yīng)的自變量取值區(qū)間的長度為l(閉區(qū)間[m,n]的長度定義為n-m)求l關(guān)于a的表達式,并求出l的取值范圍.

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