Question

10．如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，CC₁⊥平面ABC，AC=BC=$\frac{1}{2}A{A_1}$，D是棱AA₁的中點，DC₁⊥BD．
（Ⅰ）證明：DC₁⊥BC；
（Ⅱ）設(shè)AA₁=2，A₁B₁的中點為P，求點P到平面BDC₁的距離．

Answer 1

分析 （1）由題目條件結(jié)合勾股定理，即可證得結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標系，代入運用公式進行計算即可得出答案．

解答 （1）證明：由題設(shè)知，三棱柱的側(cè)面為矩形．
∵D為AA₁的中點，∴DC=DC₁．
又$AC=\frac{1}{2}A{A_1}$，可得$D{C_1}^2+D{C^2}=C{C_1}^2$，∴DC₁⊥DC．
而DC₁⊥BD，DC∩BD=D，∴DC₁⊥平面BCD．
∵BC?平面BCD，∴DC₁⊥BC．…（4分）
（2）解：由（1）知BC⊥DC₁，且BC⊥CC₁，則BC⊥平面ACC₁A₁，
∴CA，CB，CC₁兩兩垂直．
以C為坐標原點，$\overrightarrow{CA}$的方向為x軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系C-xyz．
由題意知，$B（0，1，0），D（1，0，1），{C_1}（0，0，2），{B_1}（0，1，2），P（\frac{1}{2}，\frac{1}{2}，2）$，．
則$\overrightarrow{BD}=（1，-1，1）$，$\overrightarrow{D{C_1}}=（-1，0，1）$，$\overrightarrow{P{C_1}}=（-\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}，0）$．
設(shè)$\overrightarrow{m}=（x，y，z）$是平面BDC₁的法向量，
則$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0\\ \overrightarrow{m}•\overrightarrow{D{C_1}}=0\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}x-y+z=0\\-x+z=0\end{array}\right.$，
可取$\overrightarrow{m}=（1，2，1）$．
設(shè)點P到平面BDC₁的距離為d，
則$d=|\frac{{\overrightarrow{P{C_1}}•\overrightarrow{m}}}{{|\overrightarrow{m}|}}|=\frac{{\sqrt{6}}}{4}$．…12分

點評 本題考查線線垂直的證明，考查點面距離的計算，屬于中檔題．